浅谈压缩感知（二十一）：压缩感知重构算法之正交匹配追踪（OMP）

主要内容：

1. OMP的算法流程
2. OMP的MATLAB实现
3. 一维信号的实验与结果
4. 测量数M与重构成功概率关系的实验与结果
5. 稀疏度K与重构成功概率关系的实验与结果

一、OMP的算法流程

二、OMP的MATLAB实现(CS_OMP.m)

function [ theta ] = CS_OMP( y,A,iter )

%   CS_OMP

%   y = Phi * x

%   x = Psi * theta

%    y = Phi * Psi * theta

%   令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta

%   现在已知y和A，求theta

%   iter = 迭代次数

    [m,n] = size(y);

    if m<n

        y = y'; %y should be a column vector

    end

    [M,N] = size(A); %传感矩阵A为M*N矩阵

    theta = zeros(N,); %用来存储恢复的theta(列向量)

    At = zeros(M,iter); %用来迭代过程中存储A被选择的列

    pos_num = zeros(,iter); %用来迭代过程中存储A被选择的列序号

    res = y; %初始化残差(residual)为y

    for ii=:iter %迭代t次，t为输入参数

        product = A'*res; %传感矩阵A各列与残差的内积

        [val,pos] = max(abs(product)); %找到最大内积绝对值，即与残差最相关的列

        At(:,ii) = A(:,pos); %存储这一列

        pos_num(ii) = pos; %存储这一列的序号

        A(:,pos) = zeros(M,); %清零A的这一列，其实此行可以不要，因为它与残差正交

        % y=At(:,:ii)*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)

        theta_ls = (At(:,:ii)'*At(:,1:ii))^(-1)*At(:,1:ii)'*y;%最小二乘解

        % At(:,:ii)*theta_ls是y在At(:,:ii)列空间上的正交投影

        res = y - At(:,:ii)*theta_ls; %更新残差

    end

    theta(pos_num)=theta_ls;% 恢复出的theta

end

三、一维信号的实验与结果（CS_Reconstuction_Test.m）

%压缩感知重构算法OMP测试

%以一维信号为例

clear all;close all;clc;

M = ;%观测值个数

N = ;%信号x的长度

K = ;%信号x的稀疏度

Index_K = randperm(N);

x = zeros(N,);

x(Index_K(:K)) = *randn(K,);%x为K稀疏的，且位置是随机的

Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵，x=Psi*theta

Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵

A = Phi * Psi;%传感矩阵

y = Phi * x;%得到观测向量y

%% 恢复重构信号x

tic

theta = CS_OMP(y,A,K);

x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta

toc

%% 绘图

figure;

plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号

hold on;

plot(x,'r');%绘出原信号x

hold off;

legend('Recovery','Original')

fprintf('\n恢复残差：');

norm(x_r-x)%恢复残差

四、测量数M与重构成功概率关系的实验与结果（CS_Reconstuction_MtoPercentage.m）

%   压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_MtoPercentage.m

%   绘制参考文献中的Fig.

%   参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert

%   Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching

%   Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. , NO. ,

%   DECEMBER .

clear all;close all;clc;

%% 参数配置初始化

CNT = ; %对于每组(K,M,N)，重复迭代次数

N = ; %信号x的长度

Psi = eye(N); %x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta

K_set = [,,,,]; %信号x的稀疏度集合

Percentage = zeros(length(K_set),N); %存储恢复成功概率

%% 主循环，遍历每组(K,M,N)

tic

for kk = :length(K_set)

    K = K_set(kk); %本次稀疏度

    M_set = K::N; %M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了

    PercentageK = zeros(,length(M_set)); %存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率

    for mm = :length(M_set)

       M = M_set(mm); %本次观测值个数

       P = ;

       for cnt = :CNT %每个观测值个数均运行CNT次

            Index_K = randperm(N);

            x = zeros(N,);

            x(Index_K(:K)) = *randn(K,); %x为K稀疏的，且位置是随机的

            Phi = randn(M,N); %测量矩阵为高斯矩阵

            A = Phi * Psi; %传感矩阵

            y = Phi * x; %得到观测向量y

            theta = CS_OMP(y,A,K); %恢复重构信号theta

            x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta

            if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功

                P = P + ;

            end

       end

       PercentageK(mm) = P/CNT*; %计算恢复概率

    end

    Percentage(kk,:length(M_set)) = PercentageK;

end

toc

save MtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来

%% 绘图

S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];

figure;

for kk = :length(K_set)

    K = K_set(kk);

    M_set = K::N;

    L_Mset = length(M_set);

    plot(M_set,Percentage(kk,:L_Mset),S(kk,:));%绘出x的恢复信号

    hold on;

end

hold off;

xlim([ ]);

legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');

xlabel('Number of measurements(M)');

ylabel('Percentage recovered');

title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');

五、稀疏度K与重构成功概率关系的实验与结果（CS_Reconstuction_KtoPercentage.m）

%   压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_KtoPercentage.m

%   绘制参考文献中的Fig.

%   参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert

%   Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching

%   Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. , NO. ,

%   DECEMBER .

%

clear all;close all;clc;

%% 参数配置初始化

CNT = ; %对于每组(K,M,N)，重复迭代次数

N = ; %信号x的长度

Psi = eye(N); %x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta

M_set = [,,,,]; %测量值集合

Percentage = zeros(length(M_set),N); %存储恢复成功概率

%% 主循环，遍历每组(K,M,N)

tic

for mm = :length(M_set)

    M = M_set(mm); %本次测量值个数

    K_set = ::ceil(M/); %信号x的稀疏度K没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了

    PercentageM = zeros(,length(K_set)); %存储此测量值M下不同K的恢复成功概率

    for kk = :length(K_set)

       K = K_set(kk); %本次信号x的稀疏度K

       P = ;

       for cnt = :CNT %每个观测值个数均运行CNT次

            Index_K = randperm(N);

            x = zeros(N,);

            x(Index_K(:K)) = *randn(K,); %x为K稀疏的，且位置是随机的

            Phi = randn(M,N); %测量矩阵为高斯矩阵

            A = Phi * Psi; %传感矩阵

            y = Phi * x; %得到观测向量y

            theta = CS_OMP(y,A,K); %恢复重构信号theta

            x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta

            if norm(x_r-x)<1e- %如果残差小于1e-6则认为恢复成功

                P = P + ;

            end

       end

       PercentageM(kk) = P/CNT*; %计算恢复概率

    end

    Percentage(mm,:length(K_set)) = PercentageM;

end

toc

save KtoPercentage1000test %运行一次不容易，把变量全部存储下来

%% 绘图

S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];

figure;

for mm = :length(M_set)

    M = M_set(mm);

    K_set = ::ceil(M/);

    L_Kset = length(K_set);

    plot(K_set,Percentage(mm,:L_Kset),S(mm,:));%绘出x的恢复信号

    hold on;

end

hold off;

xlim([ ]);

legend('M=52','M=100','M=148','M=196','M=244');

xlabel('Sparsity level(K)');

ylabel('Percentage recovered');

title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');

六、参考文章

http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45268141

更多OMP请参考：浅谈压缩感知（九）：正交匹配追踪算法OMP