图论：最短路-Dijkstra

Dijkstra+堆优化具有稳定的时间复杂度，在一些数据范围要求比较严格（准确来说是图比较苛刻）的时候能够保证稳定的时间复杂度

但是Dijkstra不能够解决负边权的问题，所以在使用的时候一定要仔细读题

如果题目说了边权非负，首选Dijkstra算法， 如果图不是一些特殊的数据，可以尝试SPFA算法，毕竟在稀疏图面前，SPFA有着绝对的优势

Dijkstra和Prim很相似，它们的区别主要是d的含义，前者是到s的临时最短距离，后者是到树的临时最短距离，相同点是，每次找d最小的更新其它点的距离

然后，我们开始介绍用法：

int s,n,m,cnt;

int g[maxn],d[maxn];

struct Edge{int u,t,w,next;}e[maxm];

struct HeapNode{int d,u;bool operator <(const HeapNode& x) const{return d>x.d;}};

priority_queue<HeapNode> q;

在Bellman-Ford中相同的字眼我们不介绍，意义一致

HeapNode结构体和优先队列用来实现一个最小堆，堆元素是点，记录了节点号和距离值

void dijkstra(int s)

{

    for(int i=;i<=n;i++) d[i]=INF;

    d[s]=;

    HeapNode p;

    p.d=;p.u=s;q.push(p);

    while(!q.empty())

    {

        HeapNode x=q.top(); q.pop();

        int u=x.u;

        if(x.d!=d[u]) continue;

        for(int tmp=g[u];tmp;tmp=e[tmp].next)

        if(d[e[tmp].t]>d[u]+e[tmp].w)

        {

            d[e[tmp].t]=d[u]+e[tmp].w;

            p.d=d[e[tmp].t];p.u=e[tmp].t;q.push(p);

        }

    }

}

如果你能够写明白邻接矩阵的Dijkstra算法，这里具有完全一致的意义，只不过用最小堆来找距离当前点集距离最小的点，把一遍遍历变成了Log级别的

然后这里的Dijkstra算法如果用邻接矩阵的话，就是被打回原形了，所以一定要用邻接表或者邻接数组来存储

下面给出完整实现：

 #include<cstdio>

 #include<queue>

 #include<cstring>

 using namespace std;

 const int INF=0x7fffffff;

 const int maxn=;

 const int maxm=;

 int s,n,m,cnt;

 int g[maxn],d[maxn];

 struct Edge{int u,t,w,next;}e[maxm];

 struct HeapNode{int d,u;bool operator <(const HeapNode& x) const{return d>x.d;}};

 priority_queue<HeapNode> q;

 void addedge(int x,int y,int z)

 {

     cnt++;e[cnt].u=x;e[cnt].t=y;e[cnt].w=z;

     e[cnt].next=g[x];g[x]=cnt;

 }

 void dijkstra(int s)

 {

     for(int i=;i<=n;i++) d[i]=INF;

     d[s]=;

     HeapNode p;

     p.d=;p.u=s;q.push(p);

     while(!q.empty())

     {

         HeapNode x=q.top(); q.pop();

         int u=x.u;

         if(x.d!=d[u]) continue;

         for(int tmp=g[u];tmp;tmp=e[tmp].next)

         if(d[e[tmp].t]>d[u]+e[tmp].w)

         {

             d[e[tmp].t]=d[u]+e[tmp].w;

             p.d=d[e[tmp].t];p.u=e[tmp].t;q.push(p);

         }

     }

 }

 int main()

 {

     scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);

     int x,y,z;

     for(int i=;i<=m;i++) {scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);addedge(x,y,z);}

     dijkstra(s);

     for(int i=;i<=n;i++) {printf("%d ",d[i]);}

     return ;

 }