【CF870F】Paths 分类讨论+数学

【CF870F】Paths

题意：一张n个点的图，对于点i,j(i!=j)，如果gcd(i,j)!=1，则i到j有一条长度为1的无向边。令dis(i,j)表示从i到j的最短路，如果i无法到j，则dis(i,j)=0。求$\sum\limits_{1\le i < j \le n}dis(i,j)$。

n<=10^7

题解：容易发现dis(i,j)不超过3，所以我们可以分出好多种情况讨论一下，但是每种情况都不好搞啊。

我们先把点1扔了，算出总点对数。我们定义一个数x是坏的当且仅当x是质数且x>n/2。然后讨论：

1.dis(x,y)=0。这种情况发生当且仅当x或y是坏的，容易计算答案。
2.dis(x,y)=1。就是求有多少不互质的数对嘛，用欧拉函数算一下就行。
3.dis(x,y)=2。我们设x的最小质因子为p(x)，那么这样的路径形如x->p(x)p(y)->y。此时还要讨论：
　　1.如果x,y都是质数，则xy<=n，这个暴力统计就行。
　　2.如果x是好质数y是合数，则x*p(y)<=n且x不是y的约数。我们先求出所有x*p(y)<=n的个数，然后去掉x是y的约数的点对。
　　　　这个怎么算呢？如果x==p(y)，这样的点对数很容易求。如果x>p(y)，我们可以从大到小枚举x，那么y/x<=n/x，我们同时枚举所有的y/x，如果p(y/x)小于x，那么我们统计上它的贡献；否则它对以后的x都不会产生贡献。最后我们再把p(y/x)=x的去掉即可。

　　3.如果x,y是互质的合数，依旧用欧拉函数算一下就行。
4.dis(x,y)=3。形如x->2p(x)->2p(y)->y。用总数-上面的3个即可得到。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

const int N=10000010;

typedef long long ll;

int pri[N/5],mn[N],sx[N],phi[N],sp[N],sn[N];

int n,num,m;

ll cnt0,cnt1,cnt2,cnt3,tot,now;

inline int min(const int &a,const int &b) {return a<b?a:b;}

int main()

{

	scanf("%d",&n);

	int i,j;

	phi[1]=mn[1]=1;

	for(i=2;i<=n;i++)

	{

		if(!sx[i])

		{

			pri[++num]=i,mn[i]=i,phi[i]=i-1,sx[i]=1;

			if(i<=n/2)	m=num;

		}

		sp[i]=num;

		for(j=1;j<=num&&i*pri[j]<=N;j++)

		{

			mn[i*pri[j]]=pri[j];

			if(i%pri[j]==0)

			{

				sx[i*pri[j]]=sx[i],phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];

				break;

			}

			sx[i*pri[j]]=sx[i]+1,phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);

		}

	}

	tot=1ll*(n-1)*(n-2)/2;

	for(i=m+1;i<=num;i++)	cnt0+=pri[i]-2+n-pri[i]-(num-i);

	for(i=2;i<=n;i++)	cnt1+=i-1-phi[i];

	for(i=2;i<=n;i++)	if(mn[i]!=i)	cnt2+=phi[i]-sp[i]+sx[i]-1;

	for(i=2;i<=n;i++)	if(mn[i]!=i)

	{

		cnt2+=min(m,sp[n/mn[i]]);

		if(1ll*mn[i]*mn[i]<=n)	cnt2--;

	}

	for(j=2,i=m;i>=1;i--)

	{

		for(;j<=n/pri[i];j++)	if(mn[j]<pri[i])	sn[mn[j]]++,now++;

		now-=sn[pri[i]];

		cnt2-=now;

	}

	for(i=1;i<=m;i++)	for(j=1;j<i&&pri[i]*pri[j]<=n;j++)	cnt2++;

	cnt3=tot-cnt0-cnt1-cnt2;

	printf("%lld",cnt1+cnt2*2+cnt3*3);

	return 0;

}