线性模型之LDA和PCA
线性判别分析LDA
LDA是一种无监督学习的降维技术。
思想：投影后类内方差最小，类间方差最大，即期望同类实例投影后的协方差尽可能小，异类实例的投影后的类中心距离尽量大。
二分类推导
给定数据集\(D=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^m\)，令\(X_i，\mu_i，\sum_i\)分别表示第\(i\in \{0,1\}\)类实例的集合，均值，和协方差矩阵
则两类样本中心点在\(w\)方向直线的投影分别为\(w^Tu_0，w^Tu_1\)；若将所有的样本点都投影到\(w\)方向直线上，则两类样本的协方差分别是\(w^T\sum_0 w，w^T\sum_1 w\)
根据投影后类内方差最小，类间方差最大，欲最大化的目标为：
- \(J=\frac{||w^Tu_0-w^Tu_1||^2}{w^T\sum_0 w+w^T\sum_1 w}\)
类内散度矩阵：
- \(S_w=\sum_{x \in Y_i}(x-u_i)(x-u_i)^T\)
类间散度矩阵：
- \(S_b=(u_0-u_1)(u_0-u_1)^T\)
则目标重写为\(S_w,S_b\)的广义瑞利商
- \(J=\frac{w^TS_bw}{w^TS_ww}\)
- 解与w只与方向有关与长度无关，令，\({w^TS_ww}=1\)
目标函数等价于
- min\(\quad -w^TS_bw\)
- \(s.t. \quad {w^TS_ww}=1\)
引入拉格朗日乘子法
- \(S_bw = \lambda S_ww\)
\(S_bw\)方向恒为\((u_0-u_1)\)
- \(S_bw = \lambda (u_0-u_1)\) 带入上式得：
- \(w = S_w^{-1}(u_0-u_1)\)
奇异值分解：
- \(S_w=U\sum V^T\)
- \(S_w^{-1}=V\sum^{-1} U^T\)
从贝叶斯决策理论的角度阐释：当两类满足数据同先验，满足高斯分布且协方差相等时，LDA达到最优
N分类
全局散度矩阵：
- \(S_t=S_b+S_w=\sum^m_{i=1}(x_i-u)(x_i-u)^T\)
- \(S_w=\sum^N_{i=1}\sum_{x \in X_i}(x-u_i)(x-u_i)^T\)
- \(S_b=S_t-S_w=\sum^N_{i=1}m_i(u_i-u)(u_i-u)^T\)
根据LDA思想，目标函数为：
- \(J(W)=\frac{tr(W^TS_bW)}{tr(W^TS_wW)}\)
- \(S_bw = \lambda S_ww\)
PCA
PCA的主要思想是将n维特征映射到k维上，这k维是全新的正交特征也被称为主成分，是在原有n维特征的基础上重新构造出来的k维特征
信号领域：信号具有较大方差，噪音具有较大方差，信噪比越大意味着数据质量越高。所以PCA的目标就是最大化投影误差。
第一步：将数据进行去中心化：
第二步：方差：
- x在单位向量上的投影为\(x^Tw\)
- \(D(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^m(x_i^Tw)^2\)
- = \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^mw^Tx_ix_i^Tw\)
- = \(w^T(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^mx_ix_i^T)w\)
- = \(w^T\sum w\)
第三步：目标函数：
- \(max \quad w^T\sum w\)
- \(max \quad w^Tw=1\)
第四步：拉格朗日
- \(D(x)=w^T\sum w=\lambda w^Tw=\lambda\)
投影后的方差就是投影后的协方差特征值，将特征值由大到小排列，取前d个主成分（主成分间相互正交）
由于得到协方差矩阵的特征值特征向量有两种方法：特征值分解协方差矩阵、奇异值分解协方差矩阵，所以PCA算法有两种实现方法：基于特征值分解协方差矩阵实现PCA算法、基于SVD分解协方差矩阵实现PCA算法
降维后的信息占比：
- \(\eta=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^d\lambda_i^2}{\sum_{i=1}^n \lambda_i^2}}\)
PCA和LDA的相同点
PCA和LDA都是经典的降维算法；
PCA和LDA都假设数据是符合高斯分布的；
PCA和LDA都利用了矩阵特征分解的思想。
PCA和LDA的不同点
PCA是无监督（训练样本无标签）的，LDA是有监督（训练样本有标签）的；
PCA去除原始数据集中冗余的维度，让投影子空间的各个维度的方差尽可能大，也就是熵尽可能大。LDA是通过数据降维找到那些具有判断力的维度，使得原始数据在这些维度上的投影，不同类别尽可能区分开来。
LDA最多可以降到k-1维（k是训练样本的类别数量，k-1是因为最后一维的均值可以由前面的k-1维的均值表示）；而PCA没有这个限制
LDA还可以用于分类。
LDA可能会过拟合数据。