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Knowledge
基本知识
Tarjan 主要是用来求有向图的强连通分量(缩点)和无向图的桥和割顶。首先都是要求出 DFN 和 LOW 值:DFN 是指一个点被搜索的次序编号,LOW 是指一个点的子树中最小编号。
基本概念
- 割点：若删掉某点后，原连通图分裂为多个子图，则称该点为割点。
- 割点集合：在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。
- 点连通度：最小割点集合中的顶点数。
- 割边(桥)：删掉它之后，图必然会分裂为两个或两个以上的子图。
- 割边集合：如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。
- 边连通度：一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。
- 缩点：把没有割边的连通子图缩为一个点，此时满足任意两点之间都有两条路径可达。
注：求块<>求缩点。缩点后变成一棵k个点k-1条割边连接成的树。而割点可以存在于多个块中。 - 双连通分量：分为点双连通和边双连通。它的标准定义为：点连通度大于1的图称为点双连通图，边连通度大于1的图称为边双连通图。通俗地讲，满足任意两点之间，能通过两条或两条以上没有任何重复边的路到达的图称为双连通图。无向图G的极大双连通子图称为双连通分量。
复杂度
O(n+m)
有向图
首先搜索一个点,赋 DFN 和 LOW 初值为它的 DFN,把它丢进栈里,然后
遍历它的每个相邻点:
if 如果该点没被搜到过
then 搜索该点 然后用该点的 LOW 更新现在点的 LOW
else if 下个点还在栈里
then 用下个点的 DFN/LOW 更新这个点的 LOW (为什么 DFN 和 LOW 都可以:因为它在栈中说明它还不是强连通分量,所以 LOW 还没被更新)
最后判断一下它的 LOW 值和 DFN 值是否还相等,如果相等,说明有两种情况:
1.它没有出边
2.它的子节点最终回到了它
两种情况都说明以它为根的树为一个强连通分量。这个时候就只要不断退栈到这个点为止,退出来的所有元素为一个强连通分量。
Code
struct Tarjan{
static const int N=500010,M=500010;
int n,m,tot,_clock,scc;
int ne[M],to[M];bool in[N];
int fr[N],low[N],dfn[N],f[N],st[N];
inline void add(int u,int v){
to[++tot]=v;ne[tot]=fr[u];fr[u]=tot;
}
void Init(){
n=gi(),m=gi();
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=gi(),v=gi();add(u,v);
}
}
inline void dfs(int x){
dfn[x]=low[x]=++_clock;
st[++tot]=x;in[x]=true;
for(int o=fr[x];o;o=ne[o])
if(!dfn[to[o]])dfs(to[o]),low[x]=min(low[x],low[to[o]]);
else if(in[to[o]])low[x]=min(low[x],low[to[o]]);
if(dfn[x]==low[x]){
scc++;
while(st[tot]!=x){
f[st[tot]]=scc;in[st[tot]]=false;tot--;
}
f[x]=scc;in[x]=false;tot--;
}
}
void Work(){
_clock=tot=scc=0;
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(in,false,sizeof(in));
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])dfs(i);
}
}Tar;
缩点
Code
//在上面结构体中加上这几行就行
vector<int>p[N]
void Rebuild(){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int o=fr[i];o;o=ne[o]){
if(f[i]==f[to[o]])continue;
p[f[i]].push_back(f[to[o]]);
}
}
用途
缩完点非常好，dfs随便跑，有很多方面应用，比如下面Practice的第一题
这个图会变得非常优美，有向无环图→DAG
无向图
在无向图中因为一条边可以来回走,所以要保证不能用父亲更新,但是直接
记父亲又不行,因为可能会有重边,所以就要记录边的编号。更新的过程还是一
样 的 。
Articulation Point-割顶与连通度
在无向连通图中，删除一个顶点v及其相连的边后，原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量，则称顶点v为割点，同时也称关节点(Articulation Point)。一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)。若在连通图上至少删去k 个顶点才能破坏图的连通性，则称此图的连通度为k。
割顶求法
1. 对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；
2. 若low[v]>=dfn[u],则u为割点，u和它的子孙形成一个块。因为这说明u的子孙不能够通过其他边到达u的祖先，这样去掉u之后，图必然分裂为两个子图。Analysis：对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。
Code
struct ArticulationPoint{
static const int N=500010,M=500010;
int n,m,tot,_clock;
int ne[M],to[M];bool cut[N];
int fr[N],low[N],dfn[N],father[N];
inline void add(int u,int v){
to[++tot]=v;ne[tot]=fr[u];fr[u]=tot;
}
void Init(){
n=gi(),m=gi();
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=gi(),v=gi();add(u,v);add(v,u);
}
}
inline void Tarjan(int x,int fa){
dfn[x]=low[x]=++_clock;father[x]=fa;
for(int o=fr[x];o;o=ne[o])
if(!dfn[to[o]]){
Tarjan(to[o],x);
low[x]=min(low[x],low[to[o]]);
}
else if(to[o]>>1!=fa>>1)low[x]=min(low[x],low[to[o]]);
}
void Work(){
_clock=0;
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])Tarjan(i,-1);
tot=0;int k=0;//这里1为根节点
for(int i=2;i<=n;i++)
if(father[i]==1)tot++;
else if(low[i]>=dfn[father[i]])cut[father[i]]=1,++k;
if(tot>1)cut[1]=true,++k;
printf("%d\n",k);//割顶个数
for(int i=1;i<=n;i++)if(cut[i])printf("%d ",i);
}
}Tar;
Bridge-桥
桥 的 判 定 方 法 是 , 如 果 DFN(u) < LOW(v) 则 边 (u,v) 为 桥 。( 因 为
DFN(u) < LOW(v)说明 v 没有回到 u 之前的节点,即 u 和 v 不是一个块(双连通
分量,顾名思义要有两条路)的。)
Code
struct Bridge{
static const int N=500010,M=500010;
int n,m,tot,_clock,ans;//ans 统计桥的个数
int ne[M],to[M];
int fr[N],low[N],dfn[N];
inline void add(int u,int v){
to[++tot]=v;ne[tot]=fr[u];fr[u]=tot;
}
void Init(){
n=gi(),m=gi();
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=gi(),v=gi();add(u,v);add(v,u);
}
}
inline void Tarjan(int x,int fa){
dfn[x]=low[x]=++_clock;
for(int o=fr[x];o;o=ne[o])
if(!dfn[to[o]]){
Tarjan(to[o],x);
low[x]=min(low[x],low[to[o]]);
if(low[to[o]]>dfn[x])ans++;
}
else if(to[o]>>1!=fa>>1)low[x]=min(low[x],low[to[o]]);//重边不为桥
}
void Work(){
_clock=ans=0;
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])Tarjan(i,-1);
printf("%d",ans);
}
}Tar;
一些有用的定理
- 有向无环图中唯一出度为0的点，一定可以由任何点出发均可达(由于无环，所以从任何点出发往前走，必然终止于一个出度为0的点)
- 有向无环图中所有入度不为0的点，一定可以由某个入度为0的点出发可达。(由于无环，所以从任何入度不为0的点往回走，必然终止于一个入度为0的点)