设在某一次操作之后的\(a\)数组变为了\(a'\)数组，那么\(\prod\limits_{i \neq x} a_i = \prod a_i - \prod a_i'\)。那么就不难发现我们需要求的是进行这\(k\)次操作之后的\(a\)数组所有数的乘积的期望值。
注意到当第\(i\)个数被减去\(p_i\)次，那么方案数就是\(\frac{k!}{\prod p_i!}\)，那么考虑指数型生成函数求解。那么第\(i\)个数的生成函数就是\(\sum\limits_{j \geq 0} \frac{a_i - j}{j!}x^j = (a_i - x)e^x\)。那么答案就是\(k![x^k]e^{nx}\prod (a_i - x)\)。暴力求出\(\prod (a_i - x)\)的表示，求出它的每一项对应的\(e^{nx}\)的项的系数，然后就可以求出这个值了。值得注意的是\(k!\)太大，但是\(e^{nx}\)中也有一个阶乘，这两个可以进行抵消使得需要计算的量在\(O(n)\)范围内。复杂度\(O(n^2)\)。