前言
嗨嗨嗨，这里是盖子的小课堂哟，这次更新主要是因为快放假了，时间多了，好嘞，废话不多说，点赞评论拿来吧你~
差分数组
一维差分数组
假设给你一个数组 nums ，先对区间 [a,b] 中每个元素加 3 ，在对区间 [c,d] 每个元素减 5 …… ，这样非常频繁的区间修改，常规的做法可以一个个计算。
public void increment(int[] nums, int a, int b, int k) {
for (int index = a; index <= b; index++) {
nums[index] += k;
}
}频繁对数组的一段区间进行增加或减去同一个值，如果一个个去操作，很明显效率很差，我们可以使用差分数组，差分数组就是原始数组相邻元素之间的差。定义差分数组 d[n] ，我们可以得到： d[i] = nums[i] − nums[i−1] ，其中 d[0] = nums[0] ，如下图所示。
我们可以看到原数组就是差分数组的前缀和。
nums[0] = d[0]
num[3] = d[0] + d[1] + d[2] + d[3]有了差分数组，如果对区间 [a,b] 每个元素加 3 ，不需要在一个个操作，只需要在两端修改即可，如下图所示。
d[a] += 3;
d[b+1] -= 3;来看下代码：
public class DiffNums {
private int[] diff;// 差分数组。
private int[] nums;// 原数组。
public DiffNums(int[] nums) {
this.nums = nums;
diff = new int[nums.length];
diff[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < diff.length; i++)
diff[i] = nums[i] - nums[i - 1];
}
// 给区间[a,b]每个元素增加val（也可为负数）。
public void increment(int a, int b, int val) {
diff[a] += val;
if (b + 1 < diff.length)
diff[b + 1] -= val;
}
// 返回结果数组。
public int[] result() {
nums[0] = diff[0];
for (int i = 1; i < diff.length; i++)
nums[i] = diff[i] + nums[i - 1];
return nums;
}
}二维差分数组
我们把一维差分数组看做是一条直线，只需要用后面的值减去前面的值就可以构造差分数组。而二维差分数可以把他看做是一个平面，如下图所示，他的定义如下：
d[i][j] = a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]如果想获取原数组，根据上面的公式可以得到：
a[i][j] = a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]+d[i][j]如下图所示，以 (x1,y1) 为左上角， (x2,y2) 为右下角构成一个区间，如果对这个区间内的每个元素增加 val ，只需要执行下面四步即可。
public void add(int x1, int y1, int x2, int y2, int val) {
d[x1][y1] += val;// 增加S1
d[x1][y2 + 1] -= val;// 减去S2
d[x2 + 1][y1] -= val;// 减去S3
d[x2 + 1][y2 + 1] += val;//加上S4
}代码如下：
private int[][] d;// 差分数组。
private int[][] a;// 原数组。
public TwoDiffNums(int[][] a) {
this.a = a;
int m = a.length;
int n = a[0].length;
d = new int[m][n];
// 求差分数组。
for (int i = 0; i < m; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
add(i, j, i, j, a[i][j]);
}
public void add(int x1, int y1, int x2, int y2, int val) {
d[x1][y1] += val;
if (y2 + 1 < d[0].length)
d[x1][y2 + 1] -= val;
if (x2 + 1 < d.length)
d[x2 + 1][y1] -= val;
if (x2 + 1 < d.length && y2 + 1 < d[0].length)
d[x2 + 1][y2 + 1] += val;
}
// 返回结果数组。
public int[][] result() {
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
for (int j = 0; j < a[0].length; j++) {
int x1 = i > 0 ? a[i - 1][j] : 0;
int x2 = j > 0 ? a[i][j - 1] : 0;
int x3 = i > 0 && j > 0 ? a[i - 1][j - 1] : 0;
a[i][j] = x1 + x2 - x3 + d[i][j];
}
}
return a;
}差分数组是与前缀和数组所对应的一种逆操作，类似于求导和积分，也就是说，对差分数组求前缀和，可以得到原数组，同样的，对前缀和数组求差分，也可以得到原数组。
差分数组的性质
当我们希望对原数组的某一个区间[l,r]施加一个增量inc时，差分数组d对应的变化是：d[l]增加inc，d[r+1]减少inc，并且这种操作是可以叠加的。
例如：有数组d=[1,2,3,4,5,6]，对d[2]到d[4]之间的所有数加上3，变为d=[1,2,6,7,8,6]，那么差分数组也就从[1,1,1,1,1,1]变成了[1,1,4,1,1,-2]。
也就是说，当我们需要对原数组的不同区间施加不同的增量，我们只要按规则修改差分数组即可。
总结
今天暂时先到这里，下次更新~拜拜