（五）复函数积分的定义与性质

本文内容主要如下：

• 1. 复积分的概念

1. 复积分的概念

1.1. 复积分的定义

定义：

如图，C为平面上一条: z = z ( t ) = x ( t ) + i y ( t )   ( α ⩽ t ⩽ β ) z=z(t)=x(t)+iy(t)~(\alpha\leqslant t\leqslant\beta) z=z(t)=x(t)+iy(t) (α⩽t⩽β)其起点为 A ： a = z ( α ) A：a=z(\alpha) A：a=z(α)，终点为 B ： b = z ( β ) B：b=z(\beta) B：b=z(β)。复函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 C 上有定义。现沿曲线从 A → B A\rightarrow B A→B 依次取分点：
a = z 0 , z 1 , z 2 , ⋯   , z k , ⋯   , z n = b a=z_0,z_1,z_2,\cdots,z_k,\cdots,z_n=b a=z0​,z1​,z2​,⋯,zk​,⋯,zn​=b将曲线分为若干段，从弧段 z k − 1 z k ⌢ \overset{\LARGE{\frown}}{z_{k-1}z_k} zk−1​zk​⌢​ 中任取一点 ζ k = ξ k + i η k \zeta_k=\xi_k+i\eta_k ζk​=ξk​+iηk​，作和式：
S n = ∑ k = 1 n f ( ζ k ) ( z k − z k − 1 ) = ∑ k = 1 n f ( ζ k ) Δ z k = ∑ k = 1 n f ( ζ k ) ( Δ x k + i Δ y k ) S_n=\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(z_k-z_{k-1}) =\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k =\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(\Delta x_k+i\Delta y_k) Sn​=k=1∑n​f(ζk​)(zk​−zk−1​)=k=1∑n​f(ζk​)Δzk​=k=1∑n​f(ζk​)(Δxk​+iΔyk​)设 λ = max ⁡ 1 ⩽ k ⩽ n ∣ Δ z k ∣ \lambda=\max_{1\leqslant k\leqslant n}|\Delta z_k| λ=1⩽k⩽nmax​∣Δzk​∣
若 λ → 0 \lambda\rightarrow 0 λ→0 时， S n S_n Sn​ 的极限存在，且不依赖于对曲线 C 的分法和对 ζ k \zeta_k ζk​ 的选取方式。则称该极限值为 f ( z ) f(z) f(z) 沿曲线 C 从 A 到 B 的复积分，记作
∫ C f ( z ) d z = lim ⁡ λ → 0 S n = lim ⁡ λ → 0 ∑ k = 1 n f ( ζ k ) Δ z k \int_Cf(z)dz=\lim_{\lambda\rightarrow 0}S_n=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k ∫C​f(z)dz=λ→0lim​Sn​=λ→0lim​k=1∑n​f(ζk​)Δzk​特别地，沿 C 负方向（由B至A）的积分记作：
∫ C − f ( z ) d z \int_{C^-}f(z)dz ∫C−​f(z)dz当C为光滑闭曲线时（闭曲线的正向为逆时针方向），积分记作：
∮ C f ( z ) d z \oint_{C}f(z)dz ∮C​f(z)dz

1.2. 复积分的存在性与计算

定理：若函数 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在光滑曲线 C 上连续，则复积分 ∫ C f ( z ) d z \int_Cf(z)dz ∫C​f(z)dz 存在，且复积分可通过计算两个二元实变函数的第二型曲线积分来得到：
∫ C f ( z ) d z = ( ∫ C u d x − v d y ) + i ( ∫ C u d y + v d x ) ( 1 ) \int_Cf(z)dz=\left(\int_Cudx-vdy\right)+i\left(\int_Cudy+vdx\right) \qquad(1) ∫C​f(z)dz=(∫C​udx−vdy)+i(∫C​udy+vdx)(1)
证明： S n = ∑ k = 1 n f ( ζ k ) Δ z k = ∑ k = 1 n [ u ( ξ k , η k ) + i v ( ξ k , η k ) ] ( Δ x k + i Δ y k ) = ∑ k = 1 n ( u k Δ x k − v k Δ y k ) + i ∑ k = 1 n ( u k Δ y k − v k Δ x k ) = S n R + i S n I \begin{aligned} S_n&=\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k =\sum_{k=1}^n\left[u(\xi_k,\eta_k)+iv(\xi_k,\eta_k)\right](\Delta x_k+i\Delta y_k)\\\\ &=\sum_{k=1}^n\left(u_k\Delta x_k-v_k\Delta y_k\right)+i\sum_{k=1}^n\left(u_k\Delta y_k-v_k\Delta x_k\right)\\\\ &=S_n^R+iS_n^I \end{aligned} Sn​​=k=1∑n​f(ζk​)Δzk​=k=1∑n​[u(ξk​,ηk​)+iv(ξk​,ηk​)](Δxk​+iΔyk​)=k=1∑n​(uk​Δxk​−vk​Δyk​)+ik=1∑n​(uk​Δyk​−vk​Δxk​)=SnR​+iSnI​​由于复变函数沿曲线 C 连续，故 u , v u,v u,v 沿曲线 C 连续，那么和式 S n R ,   S n I S_n^R,~S_n^I SnR​, SnI​ 的极限存在，且极限为相应的第二型曲线积分。故复积分也存在，并且满足定理中的计算公式。

Remark：

1）为方便记忆将复积分化作曲线积分的公式 (1) ,形式上可看作：
∫ C f ( z ) d z = ∫ C ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ( ∫ C u d x − v d y ) + i ( ∫ C u d y + v d x ) \int_Cf(z)dz=\int_C(u+iv)(dx+idy)=\left(\int_Cudx-vdy\right)+i\left(\int_Cudy+vdx\right) ∫C​f(z)dz=∫C​(u+iv)(dx+idy)=(∫C​udx−vdy)+i(∫C​udy+vdx)

2）我们还可将复积分化作普通的定积分（复积分的变量代换公式）：
∫ C f ( z ) d z = ( ∫ C u d x − v d y ) + i ( ∫ C u d y + v d x ) = ∫ α β [ u x ′ ( t ) − v y ′ ( t ) ] d t + i ∫ α β [ u y ′ ( t ) + v x ′ ( t ) ] d t = ∫ α β ( u + i v ) ( x ′ + i y ′ ) d t = ∫ α β f ( z ( t ) ) z ′ ( t ) d t = ∫ α β R e [ f ( z ) z ′ ( t ) ] d t + i ∫ α β I m [ f ( z ) z ′ ( t ) ] d t ( 2 ) \begin{aligned} \int_Cf(z)dz&=\left(\int_Cudx-vdy\right)+i\left(\int_Cudy+vdx\right) \\\\ &=\int_\alpha^\beta\left[ux'(t)-vy'(t)\right]dt+i\int_\alpha^\beta\left[uy'(t)+vx'(t)\right]dt \\\\ &=\int_\alpha^\beta(u+iv)(x'+iy')dt\\\\ &=\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)dt\\\\ &=\int_\alpha^\beta Re[f(z)z'(t)]dt+i\int_\alpha^\beta Im[f(z)z'(t)]dt \qquad\qquad\qquad\qquad(2) \end{aligned} ∫C​f(z)dz​=(∫C​udx−vdy)+i(∫C​udy+vdx)=∫αβ​[ux′(t)−vy′(t)]dt+i∫αβ​[uy′(t)+vx′(t)]dt=∫αβ​(u+iv)(x′+iy′)dt=∫αβ​f(z(t))z′(t)dt=∫αβ​Re[f(z)z′(t)]dt+i∫αβ​Im[f(z)z′(t)]dt(2)​

1.3. 一个圆周上的重要积分公式

设光滑曲线 C 为以 z 0 z_0 z0​ 为中心， r r r 为半径的圆周，且 n ∈ Z n\in \mathbb Z n∈Z，则有：
∮ c d z ( z − z 0 ) n = { 2 π i ( n = 1 ) 0 ( n ≠ 1 ) \oint_c\dfrac{dz}{(z-z_0)^n}=\begin{cases}2\pi i&(n=1)\\\\0&(n\ne1)\end{cases} ∮c​(z−z0​)ndz​=⎩ ⎨ ⎧​2πi0​(n=1)(n=1)​

证明：曲线C的参数方程为：
z ( t ) = z 0 + r e i θ = [ R e ( z 0 ) + r c o s θ ] + i [ I m ( z 0 ) + r s i n θ ] , θ ∈ ( − π , π ] z(t)=z_0+re^{i\theta}=[Re(z_0)+rcos\theta]+i[Im(z_0)+rsin\theta],\qquad\theta\in(-\pi,\pi] z(t)=z0​+reiθ=[Re(z0​)+rcosθ]+i[Im(z0​)+rsinθ],θ∈(−π,π]则
z ′ ( t ) = − r s i n θ + i r c o s θ = i r ( c o s θ + i s i n θ ) = i r e i θ z'(t)=-rsin\theta+ircos\theta=ir(cos\theta+isin\theta)=ire^{i\theta} z′(t)=−rsinθ+ircosθ=ir(cosθ+isinθ)=ireiθ故
∮ c d z ( z − z 0 ) n = ∫ − π π i r e i θ r n e i n θ d θ = i r n − 1 ∫ − π π e − i ( n − 1 ) θ d θ = i r n − 1 ∫ − π π c o s [ ( n − 1 ) θ ] d θ + 1 r n − 1 ∫ − π π s i n [ ( n − 1 ) θ ] d θ = { 2 π i ( n = 1 ) 0 ( n ≠ 1 ) \begin{aligned} \oint_c\dfrac{dz}{(z-z_0)^n}&=\int_{-\pi}^\pi\dfrac{ire^{i\theta}}{r^ne^{in\theta}}d\theta\\\\ &=\dfrac{i}{r^{n-1}}\int_{-\pi}^\pi e^{-i(n-1)\theta}d\theta\\\\ &=\dfrac{i}{r^{n-1}}\int_{-\pi}^\pi cos[(n-1)\theta ]d\theta+\dfrac{1}{r^{n-1}}\int_{-\pi}^\pi sin[(n-1)\theta ]d\theta\\\\ &=\begin{cases} 2\pi i&(n=1)\\\\ 0&(n\ne1) \end{cases} \end{aligned} ∮c​(z−z0​)ndz​​=∫−ππ​rneinθireiθ​dθ=rn−1i​∫−ππ​e−i(n−1)θdθ=rn−1i​∫−ππ​cos[(n−1)θ]dθ+rn−11​∫−ππ​sin[(n−1)θ]dθ=⎩ ⎨ ⎧​2πi0​(n=1)(n=1)​​(证毕.)

1.4. 复积分的基本性质

设 f ( z ) ,   g ( z ) f(z),~g(z) f(z), g(z) 沿光滑曲线 C 连续（确保相应复积分存在），则根据复积分的定义不难得到：

1） ∫ c k f ( z ) d z = k ∫ c f ( z ) d z , ( k ∈ C ) \int_ckf(z)dz=k\int_cf(z)dz,\quad (k\in\mathbb C) ∫c​kf(z)dz=k∫c​f(z)dz,(k∈C) 2） ∫ c [ f ( z ) ± g ( z ) ] d z = ∫ c f ( z ) d z ± ∫ c g ( z ) d z \int_c[f(z)\pm g(z)]dz=\int_cf(z)dz\pm\int_cg(z)dz ∫c​[f(z)±g(z)]dz=∫c​f(z)dz±∫c​g(z)dz3） ∫ c f ( z ) d z = ∫ c 1 f ( z ) d z + ∫ c 2 f ( z ) d z , ( C = C 1 ∪ C 2 ) \int_cf(z)dz=\int_{c_1}f(z)dz+\int_{c_2}f(z)dz,\quad(C=C_1\cup C_2) ∫c​f(z)dz=∫c1​​f(z)dz+∫c2​​f(z)dz,(C=C1​∪C2​)4） ∫ c f ( z ) d z = − ∫ c − f ( z ) d z \int_cf(z)dz=-\int_{c^-}f(z)dz ∫c​f(z)dz=−∫c−​f(z)dz此外，关于复函数的积分也有类似的不等式：

5） ∣ ∫ c f ( z ) d z ∣ ⩽ ∫ c ∣ f ( z ) ∣ d s = ∫ c ∣ f ( z ) ∣ ∣ d z ∣ \left|\int_cf(z)dz\right|\leqslant\int_c|f(z)|ds=\int_c|f(z)||dz| ​∫c​f(z)dz ​⩽∫c​∣f(z)∣ds=∫c​∣f(z)∣∣dz∣其中，不等式右端是实连续函数 ∣ f ( z ) ∣ |f(z)| ∣f(z)∣ 沿曲线 C 的第一型曲线积分。

证明：由于复数的模满足三角不等式，故
∣ ∑ k = 1 n f ( ζ k ) Δ z k ∣ ⩽ ∑ k = 1 n ∣ f ( ζ k ) ∣ ∣ Δ z k ∣ ⩽ ∑ k = 1 n ∣ f ( ζ k ) ∣ Δ s k \left|\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k\right| \leqslant \sum_{k=1}^n|f(\zeta_k)||\Delta z_k| \leqslant \sum_{k=1}^n|f(\zeta_k)|\Delta s_k ​k=1∑n​f(ζk​)Δzk​ ​⩽k=1∑n​∣f(ζk​)∣∣Δzk​∣⩽k=1∑n​∣f(ζk​)∣Δsk​
其中， Δ s k \Delta s_k Δsk​ 为微弧段 z k − 1 z k ⌢ \overset{\LARGE{\frown}}{z_{k-1}z_{k}} zk−1​zk​⌢​ 的弧长，故满足
∣ Δ z k ∣ = ( Δ x k ) 2 + ( Δ y k ) 2 ⩽ Δ s k |\Delta z_k|=\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}\leqslant\Delta s_k ∣Δzk​∣=(Δxk​)2+(Δyk​)2 ​⩽Δsk​对不等式两侧取极限，即可得不等号成立，又 ∣ d z ∣ = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = d s |dz|=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=ds ∣dz∣=(dx)2+(dy)2 ​=ds故等号也可得证。（证毕）

推论：（积分估值定理） 若在 C 上有 ∣ f ( z ) ∣ ⩽ M |f(z)|\leqslant M ∣f(z)∣⩽M，而 C 的长度为 L L L，那么有：
∣ ∫ c f ( z ) d z ∣ ⩽ ∫ c ∣ f ( z ) ∣ d s ⩽ ∫ c M d s = M ∫ c d s = M L \left|\int_cf(z)dz\right|\leqslant\int_c|f(z)|ds\leqslant\int_cMds=M\int_cds=ML ​∫c​f(z)dz ​⩽∫c​∣f(z)∣ds⩽∫c​Mds=M∫c​ds=ML