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2023华数杯全国大学生数学建模竞赛题目
C 题母亲身心健康对婴儿成长的影响
母亲是婴儿生命中最重要的人之一，她不仅为婴儿提供营养物质和身体保护， 还为婴儿提供情感支持和安全感。母亲心理健康状态的不良状况，如抑郁、焦虑、压力等，可能会对婴儿的认知、情感、社会行为等方面产生负面影响。压力过大的母亲可能会对婴儿的生理和心理发展产生负面影响，例如影响其睡眠等方面。
附件给出了包括 390名 3 至 12 个月婴儿以及其母亲的相关数据。这些数据涵盖各种主题，母亲的身体指标包括年龄、婚姻状况、教育程度、妊娠时间、分娩方式，以及产妇心理指标CBTS（分娩相关创伤后应激障碍问卷）、EPDS（爱丁堡产后抑郁量表）、HADS（医院焦虑抑郁量表）和婴儿睡眠质量指标包括整晚睡眠时间、睡醒次数和入睡方式。
请查阅相关文献，了解专业背景，根据题目数据建立数学模型，回答下列问题。
X = k ∫ 400 700 S ( λ ) x ˉ ( λ ) R ( λ ) d ( λ ) X = k \int_{400}^{700} S(\lambda) \bar{x}(\lambda)R(\lambda)d(\lambda) X=k∫400700S(λ)xˉ(λ)R(λ)d(λ)
Y = k ∫ 400 700 S ( λ ) y ˉ ( λ ) R ( λ ) d ( λ ) Y = k \int_{400}^{700} S(\lambda) \bar{y}(\lambda)R(\lambda)d(\lambda) Y=k∫400700S(λ)yˉ(λ)R(λ)d(λ)
Z = k ∫ 400 700 S ( λ ) z ˉ ( λ ) R ( λ ) d ( λ ) Z = k \int_{400}^{700} S(\lambda) \bar{z}(\lambda)R(\lambda)d(\lambda) Z=k∫400700S(λ)zˉ(λ)R(λ)d(λ)
其中， S ( λ ) S(\lambda) S(λ)为光谱能量分布， x ˉ ( λ ) x ˉ ( λ ) x ˉ ( λ ) \bar{x}(\lambda) \bar{x}(\lambda) \bar{x}(\lambda) xˉ(λ)xˉ(λ)xˉ(λ)为观察者光谱三刺激值， S ( λ ) 分别与 x ˉ ( λ ) x ˉ ( λ ) x ˉ ( λ ) S(\lambda) 分别与\bar{x}(\lambda) \bar{x}(\lambda) \bar{x}(\lambda) S(λ)分别与xˉ(λ)xˉ(λ)xˉ(λ)相乘为固定值见附件1。 R ( λ ) R(\lambda) R(λ)为光谱反射率，k值约为0.1， d ( λ ) d(\lambda) d(λ)为测量物体反射率波长间隔，本题 d ( λ ) = 20 n m d(\lambda)=20nm d(λ)=20nm。
请建立数学模型解决如下几个问题：
B题需要用到不少运筹规划类相关算法，需要用到比如单目标规划、多目标规划、动态规划等。这里对第一问进行简单的分析，后续会提供更具体的分析与建模。
✅ 问题1
许多研究表明，母亲的身体指标和心理指标对婴儿的行为特征和睡眠质量有影响，请问是否存在这样的规律，根据附件中的数据对此进行研究。
问题1建模思路
问题一，首先我们对附件所给的数据进行预处理，包含数据转换和数据清洗，对于异常值的处理，我们利用人为的判定方式和正态分布3σ原理进行判定，找出样本中逻辑存在问题的数据以及异常数据等。
3σ原则是统计学中常用的一种质量管理方法，也称为3倍标准差原则或68-95-99.7规则。它基于正态分布的性质，适用于满足正态分布假设的数据。
根据3σ原则，对于服从正态分布的数据：
- 约68% 的数据落在均值的一个标准差范围内；
- 约95% 的数据落在均值的两个标准差范围内；
- 约99.7% 的数据落在均值的三个标准差范围内。
这意味着在正态分布下，大部分数据点会集中在均值附近，并且随着距离均值的标准差增加，数据点的密度逐渐减少。
✅ 问题2
婴儿行为问卷是一个用于评估婴儿行为特征的量表，其中包含了一些关于婴儿情绪和反应的问题。我们将婴儿的行为特征分为三种类型：安静型、中等型、矛盾型。请你建立婴儿的行为特征与母亲的身体指标与心理指标的关系模型。数据表中最后有20组（编号391-410号）婴儿的行为特征信息被删除，请你判断他们是属于什么类型。
问题2建模思路
问题二，对于问卷所给出的数据，首先我们要对问卷的可信度和效度进行检验，针对婴儿行为特征不具备数据特征，我们现对婴儿的行为特征进行数字编码处理，使用多种分类模型（如决策树、随机森林）建立模型，进行对比，并利用回归模型对表格中未给出性格特征的二十组婴儿模型进行预测。
部分预测结果：
✅ 问题3
对母亲焦虑的干预有助于提高母亲的心理健康水平，还可以改善母婴交互质量，促进婴儿的认知、情感和社交发展。CBTS、EPDS、HADS的治疗费用相对于患病程度的变化率均与治疗费用呈正比，经调研，给出了两个分数对应的治疗费用，详见表1。现有一个行为特征为矛盾型的婴儿，编号为238。请你建立模型， 分析最少需要花费多少治疗费用，能够使婴儿的行为特征从矛盾型变为中等型？若要使其行为特征变为安静型，治疗方案需要如何调整？
问题3建模思路
首先绘制出治疗费用与得分之间的线性曲线，进而通过第二问的预测模型对得分进行全局求最优，进而计算出最小费用。
✅ 问题4
婴儿的睡眠质量指标包含整晚睡眠时间、睡醒次数、入睡方式。请你对婴儿的睡眠质量进行优、良、中、差四分类综合评判，并建立婴儿综合睡眠质量与母亲的身体指标、心理指标的关联模型，预测最后20组（编号391-410号）婴儿的综合睡眠质量。
问题4建模思路
完整过程请下载资料。
✅ 问题5
在问题三的基础上，若需要让238号婴儿的睡眠质量评级为优，请问问题三的治疗策略是否需要调整？如何调整？
问题5建模思路
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