正规方程与梯度下降API及案例预测
1. 正规方程与梯度下降
回归模型是机器学习中用于预测连续数值（实数）的模型，通常用于解决回归问题。两种常见的回归模型求解方法是正规方程和梯度下降。
正规方程（Normal Equation）
正规方程是一种封闭解法，用于直接计算线性回归模型的权重（系数）。
原理：
给定一个线性回归模型的数据集，我们的目标是找到最佳的权重（系数）w，使得模型的预测值尽可能接近实际值。正规方程的原理是通过最小化损失函数来找到最佳权重。对于线性回归问题，损失函数通常是均方误差（Mean Squared Error）：
J ( w ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h w ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 J(w) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_w(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 J(w)=2m1i=1∑m(hw(x(i))−y(i))2
其中，m 是训练样本数量，
h w ( x ( i ) ) h_w(x^{(i)}) hw(x(i))
是模型的预测值，
y ( i ) y^{(i)} y(i)
是实际值。
正规方程的目标是找到权重w，使损失函数J(w)最小化。通过求解损失函数的梯度等于零的方程，可以得到权重w的解析解：
∇ J ( w ) = 0 \nabla J(w) = 0 ∇J(w)=0
这个方程的解即为最佳权重w，从而得到线性回归模型。
优点：
- 正规方程提供了封闭解，不需要手动选择学习率或迭代次数。
- 适用于小型数据集，通常在特征数量较少时表现良好。
缺点：
- 对于大型数据集，计算复杂度高，需要计算特征矩阵的逆，时间复杂度较高。
- 不适用于非线性模型。
梯度下降（Gradient Descent）
梯度下降是一种迭代优化算法，用于调整模型的参数，使损失函数最小化。
原理：
梯度下降的核心思想是通过迭代来更新模型参数，使损失函数逐渐减小。对于线性回归，梯度下降的损失函数是均方误差（Mean Squared Error），目标是最小化这个损失函数。
梯度下降的迭代过程如下：
- 初始化权重w。
- 计算损失函数J(w)关于权重 w w w的梯度
∇ J ( w ) \nabla J(w) ∇J(w) - 更新权重w，通常按照以下规则更新：
w = w − α ∇ J ( w ) w = w - \alpha \nabla J(w) w=w−α∇J(w)
，其中α是学习率，控制每次更新的步长。 - 重复步骤2和3，直到满足停止条件（例如，达到最大迭代次数或损失函数收敛）。
梯度下降的关键是学习率α的选择，过大的学习率可能导致算法不收敛，过小的学习率可能导致收敛速度慢。
优点：
- 适用于大型数据集和高维特征，计算复杂度较低。
- 可以用于各种不同类型的模型和损失函数，包括非线性模型。
缺点：
- 需要手动选择学习率和迭代次数，选择不当可能导致收敛问题或性能下降。
- 对特征缩放和初始化敏感。
2. API
sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
- 通过正规方程优化
- fit_intercept：是否计算偏置
- LinearRegression.coef_：回归系数
- LinearRegression.intercept_：偏执
sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss=“squared_loss”,fit_intercept=True,learning_rate=“invscaling”,eta0=0.01)
- SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型
- loss：损失类型
- loss=“squared_loss”:普通最小二乘法
- fit_intercept：是否计算偏置
- learning_rate:string,optional
- 学习率填充
- “constant”:eta=eta0
- “optimal”:eta=1.0/(alpha*(t+t0))[default]
- “invscaling”:eta=eta0/pow(t,power_t),power_t存在父类之中
- 对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=“constant”,并使用eta0来指定学习率
- SGDRegressor.coef_:回归系数
- SGDRegressor.intercept_:偏置
3. 波士顿房价预测
- 实例数量：506，属性数量：13数值型或类别墅，帮助预测的属性
- 属性信息：
- CRIM城镇人均犯罪率
- ZN占地面积超过2.5万平方英尺的住宅用地比例
- INDUS城镇非零售业务地区的比例
- CHAS查尔斯河虚拟变量（=1，如果土地在河边；否则是0）
- NOX一氧化氮浓度（每1000万份）
- RM平均每居民房数
- AGE在1940年之前建成的所有者占用单位的比例
- DIS与五个波士顿就业中心的加权距离
- RAD辐射状公路的可达性指数
- TAX每10000美元的全额物业税率
- PTRATIO城镇师生比例
- B 1000（Bk-0.63）^2其中Bk是城镇中的黑人比例
- LSTAT人口中地位较低人群的百分数
- MEDV以1000美元计算的自由住房的中位数
- 缺失属性值：无
流程：
- 获取数据集
- 划分数据集
- 特征工程：无量纲化处理–标准化
- 预估器流程，fit()–>模型：coef_,intercept_
- 模型评估
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression
def linear_demo():
"""
正规方程的方法对波士顿房价进行预测
:return:
"""
# 1. 获取数据
boston = load_boston()
# 2. 划分数据集
x_train, x_test, y_train,y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state= 22)
# 3. 标准化
transfer = StandardScaler()
x_train = transfer.fit_transform(x_train)
x_test = transfer.transform(x_test)
# 4. 预估器
estimator = LinearRegression()
estimator.fit(x_train, y_train)
# 5. 得出模型
print("权重系数为：\n", estimator.coef_)
print("偏置为：\n", estimator.intercept_)
# 6. 模型评估
y_predict = estimator.predict(x_test)
print("y_predict:\n", y_predict)
print("直接对比真实值和预测值：\n", y_test == y_predict)
score = estimator.score(x_test, y_test)
print("准确率为：\n", score)
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import SGDRegressor
def linear_demo():
"""
梯度下降的方法对波士顿房价进行预测
:return:
"""
# 1. 获取数据
boston = load_boston()
# 2. 划分数据集
x_train, x_test, y_train,y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state= 22)
# 3. 标准化
transfer = StandardScaler()
x_train = transfer.fit_transform(x_train)
x_test = transfer.transform(x_test)
# 4. 预估器
estimator = SGDRegressor()
estimator.fit(x_train, y_train)
# 5. 得出模型
print("权重系数为：\n", estimator.coef_)
print("偏置为：\n", estimator.intercept_)
# 6. 模型评估
y_predict = estimator.predict(x_test)
print("y_predict:\n", y_predict)
print("直接对比真实值和预测值：\n", y_test == y_predict)
score = estimator.score(x_test, y_test)
print("准确率为：\n", score)