3.23 子空间的运算
【推论1】 dim ( V 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 ⇔ V 1 ∩ V 2 = 0 \dim(\textbf{V}_1+\textbf{V}_2 )=\dim\textbf{V}_1+\dim\textbf{V}_2\Leftrightarrow\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2=\textbf{0} dim(V1+V2)=dimV1+dimV2⇔V1∩V2=0
3.24 子空间的直和
【定理3】设 V 1 , V 2 \textbf{V}_1,\textbf{V}_2 V1,V2都是 V \textbf{V} V的子空间，如果 V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2中每一个向量 α \boldsymbol\alpha α表示成 α = α 1 + α 2 , α 1 ∈ V 1 , α 2 ∈ V 2 \boldsymbol\alpha=\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_1\in\textbf{V}_1,\boldsymbol\alpha_2\in\textbf{V}_2 α=α1+α2,α1∈V1,α2∈V2的表示法唯一，那么称和 V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2为直和。
设 V 1 , V 2 \textbf{V}_1,\textbf{V}_2 V1,V2都是 V \textbf{V} V的子空间，则：
（1） V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2是直和；
（2） V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2中 0 \boldsymbol{0} 0的表法唯一（即若 0 = α 1 + α 2 , α 1 ∈ V 1 , α 2 ∈ V 2 \boldsymbol{0}=\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_1\in\textbf{V}_1,\boldsymbol\alpha_2\in\textbf{V}_2 0=α1+α2,α1∈V1,α2∈V2，又由于 0 = 0 + 0 \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0} 0=0+0，则 α 1 = 0 , α 2 = 0 \boldsymbol\alpha_1=\boldsymbol{0},\boldsymbol\alpha_2=\boldsymbol{0} α1=0,α2=0；
（3） V 1 ∩ V 2 = 0 \textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2=\textbf{0} V1∩V2=0
（4） V 1 \textbf{V}_1 V1的一个基 S 1 \textbf{S}_1 S1， V 2 \textbf{V}_2 V2的一个基 S 2 \textbf{S}_2 S2， S 1 ∪ S 2 \textbf{S}_1\cup \textbf{S}_2 S1∪S2是 V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2的一个基。
这4个命题是等价的。
【定理4】设 V 1 , V 2 \textbf{V}_1,\textbf{V}_2 V1,V2都是 V \textbf{V} V的有限维的子空间，则 V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2是直和 ⇔ dim V 1 + dim V 2 = dim ( V 1 + V 2 ) \Leftrightarrow\dim\textbf{V}_1+\dim\textbf{V}_2=\dim(\textbf{V}_1+\textbf{V}_2) ⇔dimV1+dimV2=dim(V1+V2)
【定义2】若 V = V 1 ⊕ V 2 \textbf{V}=\textbf{V}_1\oplus \textbf{V}_2 V=V1⊕V2（ V \textbf{V} V里面的每一个向量都可以表示成 V 1 \textbf{V}_1 V1的一个向量加 V 2 \textbf{V}_2 V2的一个向量， V = V 1 + V 2 \textbf{V}=\textbf{V}_1+ \textbf{V}_2 V=V1+V2是直和），称 V 2 \textbf{V}_2 V2是 V 1 \textbf{V}_1 V1的一个补空间，也称 V 1 \textbf{V}_1 V1是 V 2 \textbf{V}_2 V2的一个补空间。（类比补集的概念）
【命题2】设 dim U = n \dim\textbf{U}=n dimU=n（有限维），则 V \textbf{V} V的每一个子空间 U \textbf{U} U都在 V \textbf{V} V中有一个补空间。
【注】 U \textbf{U} U的补空间不唯一。
【定义3】设 V 1 , . . . , V m \textbf{V}_1,...,\textbf{V}_m V1,...,Vm都是 V \textbf{V} V的子空间，若 V 1 + . . . + V m \textbf{V}_1+...+\textbf{V}_m V1+...+Vm每一个向量 α \boldsymbol\alpha α表示成 α = α 1 + α 2 + . . . + α m \boldsymbol\alpha=\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2+...+\boldsymbol\alpha_m α=α1+α2+...+αm，其中 α i ∈ V i , i = 1 , 2 , . . . , m \boldsymbol\alpha_i\in\textbf{V}_i,i=1,2,...,m αi∈Vi,i=1,2,...,m的表法唯一，那么称 V 1 + . . . + V m \textbf{V}_1+...+\textbf{V}_m V1+...+Vm是直和，记作 ⨁ i = 1 m = V 1 ⊕ . . . ⊕ V m \bigoplus\limits_{i=1}^{m}=\textbf{V}_1\oplus ...\oplus \textbf{V}_m i=1⨁m=V1⊕...⊕Vm.
【定理5】设 V 1 , . . . , V m \textbf{V}_1,...,\textbf{V}_m V1,...,Vm都是 V \textbf{V} V的子空间，则下列命题等价：
（1） V 1 + . . . + V m \textbf{V}_1+...+\textbf{V}_m V1+...+Vm是直和；
（2） V 1 + . . . + V m \textbf{V}_1+...+\textbf{V}_m V1+...+Vm中零向量表法唯一；
（3） V i ∩ ( ∑ j ≠ i V j ) = 0 , i = 1 , 2 , . . . , m \textbf{V}_i\cap(\sum\limits_{j\ne i}\textbf{V}_j)=\boldsymbol{0},i=1,2,...,m Vi∩(j=i∑Vj)=0,i=1,2,...,m；
（4）设 V i \textbf{V}_i Vi的一个基为 S i , i = 1 , 2 , . . , m \textbf{S}_i,i=1,2,..,m Si,i=1,2,..,m，则 S 1 ∪ S 2 ∪ . . . ∪ S m \textbf{S}_1\cup\textbf{S}_2\cup...\cup\textbf{S}_m S1∪S2∪...∪Sm是 V 1 + . . . + V m \textbf{V}_1+...+\textbf{V}_m V1+...+Vm的一个基。
【定理6】设 V 1 , . . . , V m \textbf{V}_1,...,\textbf{V}_m V1,...,Vm都是 V \textbf{V} V的有限维的子空间，则 V 1 + V 2 + . . . + V m \textbf{V}_1+\textbf{V}_2+...+\textbf{V}_m V1+V2+...+Vm是直和 ⇔ dim ( V 1 + V 2 + . . . + V m ) = dim V 1 + dim V 2 + . . . + dim V m \Leftrightarrow\dim(\textbf{V}_1+\textbf{V}_2+...+\textbf{V}_m)=\dim\textbf{V}_1+\dim\textbf{V}_2+...+\dim\textbf{V}_m ⇔dim(V1+V2+...+Vm)=dimV1+dimV2+...+dimVm
若 V = V 1 ⊕ V 2 ⊕ . . . ⊕ V m \textbf{V}=\textbf{V}_1\oplus \textbf{V}_2\oplus ...\oplus \textbf{V}_m V=V1⊕V2⊕...⊕Vm
则 V i \textbf{V}_i Vi的一个基 ( i = 1 , . . . , m ) (i=1,...,m) (i=1,...,m)合起来应该是 V = V 1 + . . . + V m \textbf{V}=\textbf{V}_1+...+\textbf{V}_m V=V1+...+Vm的一个基。（线性空间分解成有限多个子空间的直和）