3. 函数极限与连续函数
3.1 函数极限
3.1.4 函数极限定义的扩充
lim x → x 0 f ( x ) = A , lim x → x 0 − f ( x ) = B , lim x → x 0 + f ( x ) = C \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=B,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=C x→x0limf(x)=A,x→x0−limf(x)=B,x→x0+limf(x)=C
x → x 0 , x ≠ x 0 , f ( x ) → A x\to x_{0},x\ne x_{0},f(x)\to A x→x0,x=x0,f(x)→A
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : ∣ f ( x ) − A ∣ < ε \forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta):|f(x)-A|<\varepsilon ∀ε>0,∃δ>0,∀x(0<∣x−x0∣<δ):∣f(x)−A∣<ε
一个函数极限反应的是（1）自变量的变化条件；（2）函数值的变化规律；
自变量和因变量由如下几种趋向
x → x 0 , x → x 0 + , x → x 0 − , x → + ∞ , x → − ∞ , x → ∞ x\to x_{0},x\to x_{0}^{+},x\to x_{0}^{-},x\to +\infty,x\to -\infty,x\to \infty x→x0,x→x0+,x→x0−,x→+∞,x→−∞,x→∞
f ( x ) → A , f ( x ) → + ∞ , f ( x ) → − ∞ , f ( x ) → ∞ f(x)\to A,f(x)\to +\infty,f(x)\to -\infty,f(x)\to\infty f(x)→A,f(x)→+∞,f(x)→−∞,f(x)→∞
自变量的变化有6种变化，因变量的变化有4种变化。
其分析表述如下：
x → x 0 : ∃ δ > 0 , ∀ x ( 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ) x → x 0 + : ∃ δ > 0 , ∀ x ( 0 < x − x 0 < δ ) x → x 0 − : ∃ δ > 0 , ∀ x ( − δ < x − x 0 < 0 ) x → + ∞ : ∃ X > 0 , ∀ x ( x > X ) x → − ∞ : ∃ X > 0 , ∀ x ( x < − X ) x → ∞ : ∃ X > 0 , ∀ x ( ∣ x ∣ > X ) \begin{matrix} x\to x_{0}: & \exists\delta>0,\forall x(0<|x-x_{0}|<\delta)\\ x\to x_{0}^{+} :& \exists\delta>0,\forall x(0<x-x_{0}<\delta)\\ x\to x_{0}^{-}:& \exists\delta>0,\forall x(-\delta<x-x_{0}<0)\\ x\to +\infty: & \exists X>0,\forall x(x>X)\\ x\to -\infty: & \exists X>0,\forall x(x<-X)\\ x\to \infty:& \exists X>0,\forall x(|x|>X) \end{matrix} x→x0:x→x0+:x→x0−:x→+∞:x→−∞:x→∞:∃δ>0,∀x(0<∣x−x0∣<δ)∃δ>0,∀x(0<x−x0<δ)∃δ>0,∀x(−δ<x−x0<0)∃X>0,∀x(x>X)∃X>0,∀x(x<−X)∃X>0,∀x(∣x∣>X)
f ( x ) → A : ∀ ε > 0 , . . . , : ∣ f ( x ) − A ∣ < ε f ( x ) → + ∞ : ∀ G > 0 , . . . , : f ( x ) > G f ( x ) → − ∞ : ∀ G > − , . . . , : f ( x ) < − G f ( x ) → ∞ : ∀ G > 0 , . . . , : ∣ f ( x ) ∣ > G \begin{matrix} f(x)\to A:& \forall \varepsilon>0,...,:|f(x)-A|<\varepsilon\\ f(x)\to +\infty: & \forall G>0,...,:f(x)>G\\ f(x)\to -\infty: &\forall G>-,...,:f(x)<-G\\ f(x)\to \infty: & \forall G>0,...,:|f(x)|>G \end{matrix} f(x)→A:f(x)→+∞:f(x)→−∞:f(x)→∞:∀ε>0,...,:∣f(x)−A∣<ε∀G>0,...,:f(x)>G∀G>−,...,:f(x)<−G∀G>0,...,:∣f(x)∣>G
【注】…是为自变量分析表述留下的
【例】 lim x → x 0 + f ( x ) = ∞ : ∀ G > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ( 0 < x − x 0 < δ ) : ∣ f ( x ) ∣ > G \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\infty:\forall G>0,\exists \delta>0,\forall x(0<x-x_{0}<\delta):|f(x)|>G x→x0+limf(x)=∞:∀G>0,∃δ>0,∀x(0<x−x0<δ):∣f(x)∣>G
【例】 lim x → + ∞ f ( x ) = A : ∀ ε > 0 , ∃ X > 0 , ∀ x ( x > X ) , ∣ f ( x ) − A ∣ < ε \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A:\forall \varepsilon>0,\exists X>0,\forall x(x>X),|f(x)-A|<\varepsilon x→+∞limf(x)=A:∀ε>0,∃X>0,∀x(x>X),∣f(x)−A∣<ε
【例】 lim x → ∞ f ( x ) = + ∞ : ∀ G > 0 , ∃ X > 0 , ∀ x ( x < − X ) , f ( x ) > G \lim\limits_{x\to \infty}f(x)=+\infty:\forall G>0,\exists X>0,\forall x(x<-X),f(x)>G x→∞limf(x)=+∞:∀G>0,∃X>0,∀x(x<−X),f(x)>G
【例3.1.9】证明 lim x → − ∞ e x = 0 \lim\limits_{x\to -\infty}e^{x}=0 x→−∞limex=0
【证】 ∀ ε > 0 ( 0 < ε < 1 ) \forall \varepsilon>0(0<\varepsilon<1) ∀ε>0(0<ε<1)，要找 X , ∀ x ( x < − X ) X,\forall x(x<-X) X,∀x(x<−X)，成立 0 < ∣ e x − 0 ∣ = e x < ε ⇒ x < ln ε = − ln 1 ε 0<|e^{x}-0|=e^{x}<\varepsilon\Rightarrow x<\ln \varepsilon=-\ln\frac{1}{\varepsilon} 0<∣ex−0∣=ex<ε⇒x<lnε=−lnε1
取 X = ln 1 ε , ∀ x ( x < − X ) : 0 < e x < ε X=\ln\frac{1}{\varepsilon},\forall x(x<-X):0<e^{x}<\varepsilon X=lnε1,∀x(x<−X):0<ex<ε
所以 lim x → − ∞ e x = 0 \lim\limits_{x\to -\infty}e^{x}=0 x→−∞limex=0
【例3.1.10】证明 lim x → 1 − x 2 x − 1 = − ∞ \lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}}{x-1}=-\infty x→1−limx−1x2=−∞
【证】 ∀ G > 0 \forall G>0 ∀G>0，找 δ > 0 , ∀ x ( − δ < x − 1 < 0 ) : x 2 x − 1 < − G \delta>0,\forall x(-\delta<x-1<0):\frac{x^{2}}{x-1}<-G δ>0,∀x(−δ<x−1<0):x−1x2<−G
x 2 x − 1 < M x − 1 < − G ⇔ − M G < x − 1 \frac{x^{2}}{x-1}<\frac{M}{x-1}<-G\Leftrightarrow-\frac{M}{G}<x-1 x−1x2<x−1M<−G⇔−GM<x−1（ x → 1 − : x − 1 < 0 x\to 1^{-}:x-1<0 x→1−:x−1<0， − G < 0 -G<0 −G<0，所以移动过去后，两个负号，不等号方向不变）
分母是负的， x 2 x^{2} x2要缩小到 M M M，如果 M = 0 M=0 M=0就凑不出定义，先加上条件 − 1 2 < x − 1 < 0 ⇒ x > 1 2 , x 2 > 1 4 : − 1 4 G < x − 1 < 0 -\frac{1}{2}<x-1<0\Rightarrow x>\frac{1}{2},x^{2}>\frac{1}{4}:-\frac{1}{4G}<x-1<0 −21<x−1<0⇒x>21,x2>41:−4G1<x−1<0
取 δ = min { 1 2 , 1 4 G } ( δ ≤ 1 4 G , δ ≤ 1 2 ) , ∀ x ( − δ < x − 1 < 0 ) \delta=\min\{\frac{1}{2},\frac{1}{4G}\}(\delta\le \frac{1}{4G},\delta\le \frac{1}{2}),\forall x(-\delta<x-1<0) δ=min{21,4G1}(δ≤4G1,δ≤21),∀x(−δ<x−1<0)（ − 1 δ ≤ − 4 G -\frac{1}{\delta}\le-4G −δ1≤−4G）
x 2 x − 1 < 1 4 ( x − 1 ) < − 1 4 δ ≤ 1 4 × ( − 4 G ) = G \frac{x^{2}}{x-1}<\frac{1}{4(x-1)}<-\frac{1}{4\delta}\le\frac{1}{4}\times(-4G)=G x−1x2<4(x−1)1<−4δ1≤41×(−4G)=G
所以 lim x → 1 − x 2 x − 1 = − ∞ \lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}}{x-1}=-\infty x→1−limx−1x2=−∞
【注】极限是无穷大不是指其收敛，其为发散的。它的表达式和分析定义是可以写的。
【注】
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函数极限的性质， lim x → x 0 f ( x ) = A , ∞ , + ∞ , − ∞ \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A,\infty,+\infty,-\infty x→x0limf(x)=A,∞,+∞,−∞
局部保序性，夹逼性要排除不定号无穷大 ∞ \infty ∞，其余情况都可以用
要承认 − ∞ < A < + ∞ -\infty<A<+\infty −∞<A<+∞ -
函数极限的四则运算
lim x → x 0 ( α f ( x ) + β g ( x ) ) \lim\limits_{x\to x_{0}}(\alpha f(x)+\beta g(x)) x→x0lim(αf(x)+βg(x))
lim x → x 0 f ( x ) = ∞ , ± ∞ \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=\infty,\pm\infty x→x0limf(x)=∞,±∞
lim x → x 0 g ( x ) = ∞ , ± ∞ \lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=\infty,\pm\infty x→x0limg(x)=∞,±∞
比如 lim x → x 0 ( f ( x ) + g ( x ) ) \lim\limits_{x\to x_{0}}(f(x)+g(x)) x→x0lim(f(x)+g(x))
如果 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)都是正无穷大或者负无穷大，结果是正无穷大或者负无穷大，函数极限的四则运算要排除待定型 0 0 , ∞ ∞ , 1 ∞ , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 0 , ∞ 0 \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},1^{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^{0},\infty^{0} 00,∞∞,1∞,0⋅∞,∞−∞,00,∞0. -
Heine（海涅）定理在函数极限定义扩充情况下，比如
lim x → + ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=A x→+∞limf(x)=A充分必要条件：对任意的 { x n } \{x_{n}\} {xn}满足 lim n → ∞ x n = + ∞ \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=+\infty n→∞limxn=+∞，则 { f ( x n ) } \{f(x_{n})\} {f(xn)}收敛于 A A A.
lim x → + ∞ f ( x ) \lim\limits_{x\to +\infty}f(x) x→+∞limf(x)存在并且有限（收敛）的充分必要条件是对任意满足 x n → + ∞ x_{n}\to+\infty xn→+∞的 { x n } \{x_{n}\} {xn}， { f ( x n ) } \{f(x_{n})\} {f(xn)}收敛。
对于这些不同的函数极限，分别有相应的Heine定理，它们的叙述和证明方法都是类似的。