1. 集合与映射
1.7 有限集与无限集
- 有限集：若 S \textbf{S} S由 n n n个元素组成（ n n n是非负整数），则称 S \textbf{S} S是有限集。
- 无限集：不是有限集的集合称为无限集。换句话说，无限集这个集合里面的元素应该是无限多个。
- 可列集：如果无限集中的元素可以按照某种规则排成一列（序，没有重复，没有遗漏），则称该集合为可列集。即 S = { a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . } \textbf{S}=\{a_{1},a_{2},...,a_{n},...\} S={a1,a2,...,an,...}
【例】 N + , { x ∣ s i n x = 0 } \textbf{N}^{+},\{x|sinx=0\} N+,{x∣sinx=0}是可列集，其中 , { x ∣ s i n x = 0 } = { x ∣ x = n π } ,\{x|sinx=0\}=\{x|x=n\pi\} ,{x∣sinx=0}={x∣x=nπ} - 任何一个无限集肯定包含可列子集，也就是说任何一个无限集它的元素个数不会少于可列集的元素个数。
- 无限集不一定是可列集，比如，实数集合 R \textbf{R} R是无限集，但它不是可列集。
【例1.1.2】证明整数集合 Z \textbf{Z} Z是可列集。
【证】 Z = { 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , . . . , n , − n , . . . } \textbf{Z}=\{0,1,-1,2,-2,...,n,-n,...\} Z={0,1,−1,2,−2,...,n,−n,...}（这一列当中没有重复，任何一个元素都能找到自己的位置，没有遗漏）
- 【定理1.1.1】可列个可列集之并也是可列集：现在有可列个集合 A n ( n = 1 , 2 , . . . , ) , n ∈ N + \textbf{A}_{n}(n=1,2,...,),n\in\textbf{N}^{+} An(n=1,2,...,),n∈N+，每个 A n \textbf{A}_{n} An是可列集， ⋃ n = 1 ∞ A n = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ . . . ∪ A n ∪ . . . = { x ∣ 存在 x ∈ N + ，使得 x ∈ A n } \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\textbf{A}_{n}= \textbf{A}_{1}\cup\textbf{A}_{2}\cup\textbf{A}_{3}\cup...\cup\textbf{A}_{n}\cup...=\{x|存在x\in\textbf{N}^{+}，使得x\in\textbf{A}_{n}\} n=1⋃∞An=A1∪A2∪A3∪...∪An∪...={x∣存在x∈N+，使得x∈An}，则 ⋃ n = 1 ∞ A n \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\textbf{A}_{n} n=1⋃∞An也是可列集。
【证明定理1.1.1】对任意的 n ∈ N + n\in\textbf{N}^{+} n∈N+， A n = { x n 1 , x n 2 , . . . , x n k , . . . } \textbf{A}_{n}=\{x_{n1},x_{n2},...,x_{nk},...\} An={xn1,xn2,...,xnk,...}
A 1 = { x 11 , x 12 , . . . , x 1 k , . . . } \textbf{A}_{1}=\{x_{11},x_{12},...,x_{1k},...\} A1={x11,x12,...,x1k,...}
A 2 = { x 21 , x 22 , . . . , x 2 k , . . . } \textbf{A}_{2}=\{x_{21},x_{22},...,x_{2k},...\} A2={x21,x22,...,x2k,...}
A 3 = { x 31 , x 32 , . . . , x 3 k , . . . } \textbf{A}_{3}=\{x_{31},x_{32},...,x_{3k},...\} A3={x31,x32,...,x3k,...}
A 4 = { x 41 , x 42 , . . . , x 4 k , . . . } \textbf{A}_{4}=\{x_{41},x_{42},...,x_{4k},...\} A4={x41,x42,...,x4k,...}
. . . ... ...
实际上，这些个可列集的并是无限的方阵：
( x 11 x 12 x 13 x 14 . . . x 1 k . . . x 21 x 22 x 23 x 24 . . . x 2 k . . . x 31 x 32 x 33 x 34 . . . x 3 k . . . x 41 x 42 x 43 x 44 . . . x 4 k . . . . . . ) \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & ... & x_{1k} & ...\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & ... & x_{2k} & ...\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} & ... & x_{3k} & ...\\ x_{41} & x_{42} & x_{43} & x_{44} & ... & x_{4k} & ...\\ & & &... & & & \end{pmatrix} x11x21x31x41x12x22x32x42x13x23x33x43x14x24x34x44...............x1kx2kx3kx4k............
将这无限的方阵排成一列，保证既不重复又没有遗漏，用对角线法，如下图：
也就是按这种对角线方向依次从左上角按顺序排成： x 11 , x 12 , x 21 , x 13 , x 22 , x 31 , x 14 , x 23 , x 32 , x 41 , . . . x_{11},x_{12},x_{21},x_{13},x_{22},x_{31},x_{14},x_{23},x_{32},x_{41},... x11,x12,x21,x13,x22,x31,x14,x23,x32,x41,...
（此方法没有遗漏，但是很难保证不重复，因为不能保证 A n \textbf{A}_{n} An中没有重复元素，所以下一步就是去掉重复元素）
然后拿掉重复元素
则 ⋃ n = 1 ∞ A n = { x 11 , x 12 , x 21 , x 13 , x 22 , x 31 , x 14 , x 23 , x 32 , x 41 , . . . } \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\textbf{A}_{n}=\{x_{11},x_{12},x_{21},x_{13},x_{22},x_{31},x_{14},x_{23},x_{32},x_{41},...\} n=1⋃∞An={x11,x12,x21,x13,x22,x31,x14,x23,x32,x41,...}
这个时候你已经按照一种规律将可列个可列集的并排列出来，所以可列个可列集的并还是可列集。 - 【定理1.1.2】有理数集合 Q \textbf{Q} Q是可列集。
【证明定理1.1.2】 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)是由可列个 ( n , n + 1 ] (n,n+1] (n,n+1]的并构成（ n ∈ Z n\in\textbf{Z} n∈Z）
只要证 ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]中有理数全体是可列集， ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]中每一个有理数可唯一的表示为 q p \frac{q}{p} pq，其中 p ∈ N + p\in\textbf{N}^{+} p∈N+， q ∈ N + q\in\textbf{N}^{+} q∈N+， p , q p,q p,q互质（分子分母互质，表示不能再约分）， q ≤ p q\le p q≤p
分母 p = 1 p=1 p=1的有理数： x 11 = 1 x_{11}=1 x11=1
分母 p = 2 p=2 p=2的有理数： x 21 = 1 2 x_{21}=\frac{1}{2} x21=21（注意是在 ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]区间中讨论）
分母 p = 3 p=3 p=3的有理数： x 31 = 1 3 , x 32 = 2 3 x_{31}=\frac{1}{3},x_{32}=\frac{2}{3} x31=31,x32=32
分母 p = 4 p=4 p=4的有理数： x 41 = 1 4 , x 42 = 3 4 x_{41}=\frac{1}{4},x_{42}=\frac{3}{4} x41=41,x42=43（这里写 3 4 \frac{3}{4} 43是因为 2 4 = 1 2 \frac{2}{4}=\frac{1}{2} 42=21，前面已经有过了，这里重复了， x 42 x_{42} x42只是一种序号表示，表示 p = 4 p=4 p=4的时候的第2种情况）
. . . ... ...
分母 p = n p=n p=n的有理数： x n 1 = 1 n , x n 2 , . . . , x n k ( n ) , . . . x_{n1}=\frac{1}{n},x_{n2},...,x_{nk(n)},... xn1=n1,xn2,...,xnk(n),...（ x n 2 x_{n2} xn2不一定是 2 n \frac{2}{n} n2，比如 n = 4 n=4 n=4的时候就和 x 21 x_{21} x21重复了，所以写成一种通用的代号 x n 2 x_{n2} xn2， x n k ( n ) x_{nk(n)} xnk(n)说明 k k k和 n n n有关）
. . . ... ...
这样就把 ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]区间的有理数全写了出来了，则 ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]上的有理数全体可排列成 x 11 , x 21 , x 31 , x 32 , x 41 , x 42 , . . . , x n 1 , x n 2 , . . . , x n k ( n ) , . . . x_{11},x_{21},x_{31},x_{32},x_{41},x_{42},...,x_{n1},x_{n2},...,x_{nk(n)},... x11,x21,x31,x32,x41,x42,...,xn1,xn2,...,xnk(n),...，没有重复，没有遗漏，则 ( 0 , 1 ] (0,1] (0,1]区间的有理数全体是可列集，由此可知 ( n , n + 1 ] (n,n+1] (n,n+1]区间的有理数全体是可列集
又由于 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)是由可列个 ( n , n + 1 ] (n,n+1] (n,n+1]的并构成（ n ∈ Z n\in\textbf{Z} n∈Z）
且可列集的并还是可列集，
所以 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上的有理数全体是可列集
即有理数集合 Q \textbf{Q} Q是可列集。
1.8 Descartes（笛卡尔）乘积集合
若 A \textbf{A} A和 B \textbf{B} B是两个集合，取 x ∈ A x\in\textbf{A} x∈A， y ∈ B y\in\textbf{B} y∈B，构造一个新的集合，这个新的集合的元素既不是 x x x也不是 y y y，而是 x x x和 y y y构成的有序对 ( x , y ) (x,y) (x,y)，这个有序指的是排在前面的是 A \textbf{A} A当中的元素，排在后面的是 B \textbf{B} B当中的元素，即把这样集合 A × B = { ( x , y ) ∣ x ∈ A 且 y ∈ B } \textbf{A}\times\textbf{B}=\{(x,y)|x\in\textbf{A}且y\in\textbf{B}\} A×B={(x,y)∣x∈A且y∈B}记为笛卡尔乘积集合。
笛卡尔乘积集合是有实际意义的，比如，有一个窗帘厂，它生产窗帘，构造两个集合 A = { 红 , 绿 , 蓝 } \textbf{A}=\{红,绿,蓝\} A={红,绿,蓝}， B = { 抽沙 , 提花 , 印染 , 刺绣 } \textbf{B}=\{抽沙,提花,印染,刺绣\} B={抽沙,提花,印染,刺绣}， A \textbf{A} A表示窗帘的颜色， B \textbf{B} B表示窗帘的工艺，则 A × B \textbf{A}\times\textbf{B} A×B就是窗帘品种的集合。
特别地， A = B = R \textbf{A}=\textbf{B}=\textbf{R} A=B=R（实数集合 R \textbf{R} R），则 A × B = R × R \textbf{A}\times\textbf{B}=\textbf{R}\times\textbf{R} A×B=R×R，它表示笛卡尔直角坐标系，有时候记为 R 2 \mathbb{R}^{2} R2，也是二维欧式空间。
再比如， R × R × R = R 3 \textbf{R}\times\textbf{R}\times\textbf{R}=\mathbb{R}^{3} R×R×R=R3表示笛卡尔空间坐标系。
【例】 A = { x ∣ x ∈ R 且 a ≤ x ≤ b } \textbf{A}=\{x|x\in\textbf{R}且a\le x \le b\} A={x∣x∈R且a≤x≤b}， B = { y ∣ y ∈ R 且 c ≤ y ≤ d } \textbf{B}=\{y|y\in\textbf{R}且c\le y \le d\} B={y∣y∈R且c≤y≤d}， C = { z ∣ z ∈ R 且 e ≤ z ≤ f } \textbf{C}=\{z|z\in\textbf{R}且e\le z \le f\} C={z∣z∈R且e≤z≤f}，则 A × B \textbf{A}\times\textbf{B} A×B表示平面上一个闭的矩形，如下图所示：
A × B × C \textbf{A}\times\textbf{B}\times\textbf{C} A×B×C表示空间上一个长方体，如下图所示：