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【排序算法】六、快速排序（C/C++）

快速排序

1.1 原理

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，一种高效的排序算法

基本思想：是通过一趟排序将待排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另一部分小，然后再按照此方法对这两部分数据分别进行快速排序，以达到整个数据变成有序序列

具体步骤如下：

  1. 从数列中挑出一个元素作为基准元素
  2. 将比基准元素小的元素放在其左边，比基准元素大的元素放在其右边，基准元素所在位置即为最终位置
  3. 分别对左右两个子序列递归地进行快速排序

对于如何按照基准值将待排序列分为两个子序列（单趟），单趟常见的方式有：

  1. Hoare版本
  2. 挖坑法
  3. 前后指针法

下面先谈Hoare版本的

1.2 Hoare版本（单趟）

Hoare版本的单趟排序的动图如下：
【排序算法】六、快速排序（C/C++）-LMLPHP

Hoare版本的单趟排序的基本步骤如下：

  1. 从数组中选出一个key，一般是最左边或是最右边的，上面动图是选左边的
  2. 定义一个left: L和一个right: R。如果选的key是左边的，则需要R先走，然后L从左向右走，R从右向左走。（：若选择最右边的数据作为key，则需要L先走）
  3. 选左：
  4. 选取最左边的基准值作为key，L和R的任务：（1）L：找比key大的；（2）R：找比key小的
  5. 选取最左边的基准值作为key： 在走的过程中，若R遇到小于key的数，则停下，L开始走，直到L遇到一个大于key的数时，将L和R的内容交换，R再次开始走，如此进行下去，直到L和R最终相遇，相遇结束。此时将相遇点的内容与key交换即可
  6. 选右：
  7. 选取最左边的基准值作为key，L和R的任务：（1）L：找比key小的；（2）R：找比key大的
  8. 选取最右边的基准值作为key： 在走的过程中，若L遇到小于key的数，则停下，R开始走，直到R遇到一个大于key的数时，将L和R的内容交换，L再次开始走，如此进行下去，直到L和R最终相遇，相遇结束。此时将相遇点的内容与key交换即可

经过一次单趟排序，最终使得key左边的数据全部都小于key，key右边的数据全部都大于key，并且key所在的位置就是最终的位置

  • 如果选取最左边的基准值作为key，R先走保证相遇位置的值保证比key小
  • 如果R停下来，L走，L撞到R（相遇），相遇位置的值必定比key小
  • 如果L停下来，R走，R撞到L（相遇），相遇位置的值必定比key小
  • 同理，如果选取最右边的基准值作为key，L先走保证相遇位置的值保证比key大

1.3 快速排序完整代码（Hoare版）(递归实现)

首先经过一次单趟排序，然后将key的左序列和右序列再次进行这种单趟排序，如此反复操作下去，直到左右序列只有一个数据，或是左右序列不存在时，停止操作，此时序列（或者子序列）已经有序

类似于二叉树的前序遍历
【排序算法】六、快速排序（C/C++）-LMLPHP
代码如下（递归，Hoare版）：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

// Hoare版本（单趟）
int PartQuickSort(int* arr, int left, int right)
{
	int keyi = left; // key的下标，选左边为key
	while (left < right) // left == right即相遇
	{
		// right先走，找比key小的值
		while (left < right && arr[right] >= arr[keyi])
		{
			--right;
		}
		// left后走，找比key大的值
		while (left < right && arr[left] <= arr[keyi])
		{
			++left;
		}
		// 找到一组值，交换：交换arr[left] 和 arr[right]
		if (left < right)
		{
			Swap(&arr[left], &arr[right]);
		}
	}
	Swap(&arr[keyi], &arr[left]); // 交换 keyi 和相遇点位置的值，left==right
	return left; // 返回相遇点的下标
}

// 快速排序
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{
	// 1、区间不存在(left > right) 2、只有一个数数不需要再处理(left == right)
	if (left >= right)
	{
		return;
	}

	// 单趟排序并获取基准值
	int keyi = PartQuickSort(arr, left, right);

	// 递归处理每一个子序列（左、右）
	QuickSort(arr, left , keyi - 1); // keyi 左序列进行排序
	QuickSort(arr, keyi + 1, right); // keyi 右序列进行排序
}

1.4 选择基准数key优化（三数取中）

快速排序的时间复杂度是O(NlogN)，是我们在理想情况下计算的结果

在理想情况下，我们每次进行完单趟排序后，key的左序列与右序列的长度都相同
【排序算法】六、快速排序（C/C++）-LMLPHP
若每趟排序所选的key都正好是该序列的中间值，即单趟排序结束后key位于序列正中间，那么快速排序的时间复杂度就是O(NlogN)

可是谁能保证你每次选取的key都是正中间的那个数呢？

例如，以下数组：
【排序算法】六、快速排序（C/C++）-LMLPHP
如果基准值key是数组中最大或最小的数值（假设选左边），则快速排序的递归深度会非常深，排序效率会很低

若是一个有序数组使用快速排序，这种情况下，快速排序的时间复杂度退化为O(N^2)
【排序算法】六、快速排序（C/C++）-LMLPHP
对快速排序效率影响最大的就是选取的key，若选取的key越接近中间位置，则则效率越高

为了避免这种极端情况的发生，于是出现了三数取中

三数取中的方法是从待排序数组中选择三个元素，分别是左端、右端和中间位置的元素，然后取这三个元素的中间值作为基准元素

代码如下：

// 三数取中
int GetMidIndex(int* arr, int left, int right)
{
	int mid = left + (right - left) / 2;
	if (arr[left] < arr[mid]) 
	{
		if (arr[mid] < arr[right]) 
		{
			return mid; // [mid]是中间值
		}
		else if (arr[left] > arr[right])
		{
			return left;
		}
		else
		{
			return right;
		}
	}
	else  // arr[left] >= arr[mid]
	{
		if (arr[mid] > arr[right])
		{
			return mid;
		}
		else if (arr[left] < arr[right])
		{
			return left;
		}
		else
		{
			return right;
		}
	}
}

需要注意，当大小居中的数不在序列的最左或是最右端时，我们不是就以居中数的位置作为key的位置，而是将key的值与最左端的值进行交换，这样key就还是位于最左端了，所写代码就无需改变，而只需在单趟排序代码开头加上以下两句代码即可:

如下：

// Hoare版本（单趟）
int PartQuickSort(int* arr, int left, int right)
{
	// 三数取中
	int midi = GetMidIndex(arr, left, right);
	Swap(&arr[left], &arr[midi]);

	int keyi = left; // key的下标，选左边为key
	// ...
	return left; // 返回相遇点的下标
}

1.5 挖坑法（单趟）

挖坑法是基于Hoare版本改良的（Hoare版本代码细节太多）

挖坑法的单趟排序的动图如下：
【排序算法】六、快速排序（C/C++）-LMLPHP
挖坑法的单趟排序的基本步骤如下：

  1. 选出一个数据（上图选最左为坑）存放在key变量中，在该数据位置形成一个坑
  2. 定义一个left: L和一个right: R，L从左向右走，R从右向左走（若在最左边挖坑，则需要R先走；若在最右边挖坑，则需要L先走）
  3. 选取最左边的作为坑位为例：
  4. L和R的任务：（1）L：找比key大的；（2）R：找比key小的
  5. R先走，在走的过程中，若R遇到小于key的数，则将该数抛入坑位，并在此处形成一个新的坑位，这时L再向后走，若遇到大于key的数，则将其抛入坑位，又形成一个坑位，如此循环下去，直到最终L和R相遇，这时将key抛入坑位即可

经过一次单趟排序，最终也使得key左边的数据全部都小于key，key右边的数据全部都大于key，并且key所在的位置就是最终的位置

挖坑法代码如下：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

// 挖坑法（单趟）
int PartQuickSort2(int* arr, int left, int right)
{
	// 三数取中
	int midi = GetMidIndex(arr, left, right);
	Swap(&arr[left], &arr[midi]);
	
	int key = arr[left]; // 在最左形成一个坑位
	int hole = left; // 坑的下标
	while (left < right)
	{
		// right先走，找比key小的
		while (left < right && arr[right] >= key)
		{
			--right;
		}
		arr[hole] = arr[right]; // 填坑
		hole = right;
		// left后走，找比key大的
		while (left < right && arr[left] <= key)
		{
			++left;
		}
		arr[hole] = arr[left]; // 填坑
		hole = left;
	}
	arr[hole] = key;
	return hole;
}

1.6 快速排序完整代码（挖坑法）(递归实现)

代码如下（递归，挖坑法）：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

// 挖坑法（单趟）
int PartQuickSort2(int* arr, int left, int right)
{
	// 三数取中
	int midi = GetMidIndex(arr, left, right);
	Swap(&arr[left], &arr[midi]);
	
	int key = arr[left]; // 在最左形成一个坑位
	int hole = left; // 坑的下标
	while (left < right)
	{
		// right先走，找比key小的
		while (left < right && arr[right] >= key)
		{
			--right;
		}
		arr[hole] = arr[right]; // 填坑
		hole = right;
		// left后走，找比key大的
		while (left < right && arr[left] <= key)
		{
			++left;
		}
		arr[hole] = arr[left]; // 填坑
		hole = left;
	}
	arr[hole] = key;
	return hole; // 返回key的下标
}

// 快速排序
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{
	// 1、区间不存在(left > right) 2、只有一个数数不需要再处理(left == right)
	if (left >= right)
	{
		return;
	}

	// 单趟排序并获取基准值
	int keyi = PartQuickSort2(arr, left, right);

	// 递归处理每一个子序列（左、右）
	QuickSort(arr, left , keyi - 1); // keyi 左序列进行排序
	QuickSort(arr, keyi + 1, right); // keyi 右序列进行排序
}

1.7 前后指针版（单趟）

前后指针版的单趟排序的动图如下：
【排序算法】六、快速排序（C/C++）-LMLPHP
前后指针法的单趟排序的基本步骤如下：

  1. 选出一个key，最左边或是最右边的（上图选最左）
  2. 开始时，prev指向序列的左边，cur指向prev+1的位置
  3. 情况1：若cur指向的内容小于key，则prev向右后移动一位，然后交换prev和cur指针指向的内容，然后cur指针++
  4. 情况2：若cur指向的内容大于key，则cur指针直接++。如此进行下去，直到cur指针越界，此时将key和prev指针指向的内容交换即可

前后指针版代码如下：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

// 前后指针版（单趟）
int PartQuickSort3(int* arr, int left, int right)
{
	// 三数取中
	int midi = GetMidIndex(arr, left, right);
	Swap(&arr[left], &arr[midi]);

	int keyi = left;
	int prev = left;
	int cur = left + 1;
	while (cur <= right)
	{
		if (arr[cur] < arr[keyi]) // cur指向的内容小于key
		{
			++prev;
			if(prev != cur)
				Swap(&arr[prev], &arr[cur]);
		}
		++cur;
	}
	Swap(&arr[keyi], &arr[prev]);
	return prev; // 返回key当前的下标
}

1.8 快速排序完整代码（前后指针版）(递归实现)

代码如下（递归，前后指针版）：（升序）

void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

// 前后指针版（单趟）
int PartQuickSort3(int* arr, int left, int right)
{
	// 三数取中
	int midi = GetMidIndex(arr, left, right);
	Swap(&arr[left], &arr[midi]);

	int keyi = left;
	int prev = left;
	int cur = left + 1;
	while (cur <= right)
	{
		if (arr[cur] < arr[keyi]) // cur指向的内容小于key
		{
			++prev;
			if(prev != cur)
				Swap(&arr[prev], &arr[cur]);
		}
		++cur;
	}
	Swap(&arr[keyi], &arr[prev]);
	return prev; // 返回key当前的下标
}

// 快速排序
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{
	// 1、区间不存在(left > right) 2、只有一个数数不需要再处理(left == right)
	if (left >= right)
	{
		return;
	}

	// 单趟排序并获取基准值
	int keyi = PartQuickSort3(arr, left, right);

	// 递归处理每一个子序列（左、右）
	QuickSort(arr, left , keyi - 1); // keyi 左序列进行排序
	QuickSort(arr, keyi + 1, right); // keyi 右序列进行排序
}

1.9 快速排序小区间优化

快速排序的递归类似于二叉树的形式，深度越深待排数组的长度越短，但是数量也越多，调用函数的次数就越多，开辟函数栈帧的消耗越大，导致效率下降（每一层的递归次数会以2倍的形式快速增长，后三层的递归次数占据了总递归次数的70%以上）

优化的方式就是设置一个排序序列的长度大小，若是数组长度大于这个指定的数，则调用快速排序，若是数组长度小于这个指定的数，不再调用快速排序，而是调用插入排序或者其他排序

这个数可自行调整，代码如下：

// 快速排序（优化）
void QuickSort2(int* arr, int left, int right)
{
	// 1、区间不存在(left > right) 2、只有一个数数不需要再处理(left == right)
	if (left >= right)
	{
		return;
	}

	if (right - left + 1 > 8) // 可自行调整
	{
		// 单趟排序并获取基准值
		int keyi = PartQuickSort3(arr, left, right);
		// 递归处理每一个子序列（左、右）
		QuickSort(arr, left, keyi - 1); // keyi 左序列进行排序
		QuickSort(arr, keyi + 1, right); // keyi 右序列进行排序
	}
	else // 调用其他排序
	{
		InsertSort(arr + left, right - left + 1);
	}
}

1.9 快速排序非递归实现

将一个用递归实现的算法改为非递归时，一般需要借用一个数据结构，那就是栈

C语言的库没有封装有stack，需要自己手搓一个，C++的STL库则封装有

如果是C语言，我就不贴代码了，代码链接：stack，下面简单介绍一下手搓stack的接口

// 初始化
void StackInit(ST* ps);
// 销毁栈
void StackDestroy(ST* ps);
// 入栈
void StackPush(ST* ps, STDataType x);
// 出栈
void StackPop(ST* ps);
// 检测栈是否为空，如果为空返回非零结果，如果不为空返回0
bool StackEmpty(ST* ps);
// 获取栈顶元素
STDataType StackTop(ST* ps);
// 获取栈中有效元素个数
int StackSize(ST* ps);
  1. 先将待排序列的第一个元素的下标和最后一个元素的下标入栈
  2. 当栈不为空时，读取栈中的信息（一次读取两个：一个是left，另一个是right），然后调用某一版本的单趟排序，排完后获得了key的下标，然后判断key的左序列和右序列是否还需要排序，若还需要排序，就将相应序列的left和right入栈；若不需排序了（序列只有一个元素或是区间不存在），就不需要将该序列区间的信息入栈
  3. 重复执行步骤2，直到栈为空为止

C语言代码如下：（升序）

void QuickSort3(int* arr, int left, int right)
{
	Stack st; // 创建栈
	StackInit(&st); // 初始化栈
	StackPush(&st, left); // 待排序列的left
	StackPush(&st, right); // 待排序列的right

	while (!StackEmpty(&st)) // 栈为空结束
	{
		int right = StackTop(&st); // 读取right
		StackPop(&st); // 出栈
		int left = StackTop(&st); // 读取left
		StackPop(&st); // 出栈

		// 判断左右区间是否合理，若不合理则跳过本次循环
		if (left >= right)
		{
			continue;
		}
	
		int keyi = PartQuickSort2(arr, left, right); // 调用单趟的方法

		StackPush(&st, left); // 左序列的left入栈
		StackPush(&st, keyi - 1); // 左序列的right入栈
		
		StackPush(&st, keyi + 1); // 右序列的left入栈
		StackPush(&st, right); // 右序列的right入栈
	}
}

C++代码如下：（升序）

void QuickSort4(int* arr, int left, int right)
{
	stack<int> st; // 创建栈
	st.push(left); // 待排序列的left
	st.push(right); // 待排序列的right

	while (!st.empty()) // 栈为空结束
	{
		int right = st.top(); // 读取right
		st.pop(); // 出栈
		int left = st.top(); // 读取left
		st.pop(); //出栈

		//判断左右区间是否合理，若不合理则跳过本次循环
		if (left >= right)
		{
			continue;
		}

		int keyi = PartQuickSort2(arr, left, right); // 调用单趟的方法

		st.push(left); // 左序列的left入栈
		st.push(keyi - 1); // 左序列的right入栈

		st.push(keyi + 1); // 右序列的left入栈
		st.push(right); // 右序列的right入栈
	}
}

1.10 特性总结

  • 时间复杂度：平均情况下，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)
  • 空间复杂度：O(1)
  • 稳定性：不稳定
  • 不适用于小规模数据，适用于大规模数据的排序

--------------------- END ----------------------

「 作者 」 枫叶先生
「 更新 」 2024.1.20
「 声明 」 余之才疏学浅，故所撰文疏漏难免，
          或有谬误或不准确之处，敬请读者批评指正。
01-21 11:21
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