《高等工程数学》常用基础知识梳理

1.特征值和特征向量

特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念，用来描述矩阵的本质特征。特征向量是非零向量，而特征值是标量，它们满足矩阵与特定向量的乘积等于特定标量与特定向量的乘积。特征值和特征向量的求解在矩阵的对角化、求矩阵的谱等问题中有广泛的应用。

以一个二阶矩阵为例，来说明如何求解特征值和特征向量。

设矩阵A为
A = ( 2 1 1 2 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} A=(21​12​)

1. 求解特征值

根据特征值的定义，有：
∣ A − λ I ∣ = 0 |A - \lambda I| = 0 ∣A−λI∣=0

其中，I为二阶单位矩阵。展开式为：
∣ 2 − λ 1 1 2 − λ ∣ = 0 \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0 ∣∣∣∣​2−λ1​12−λ​∣∣∣∣​=0

计算行列式，得到：
( 2 − λ ) 2 − 1 = 0 (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 (2−λ)2−1=0

化简后，得到：
λ 1 = 1 , λ 2 = 3 \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 λ1​=1,λ2​=3

因此，矩阵A的特征值为1和3。

1. 求解特征向量

对于特征值1，根据特征向量的定义，有：
( A − λ 1 I ) X 1 = 0 (A - \lambda_1 I) X_1 = 0 (A−λ1​I)X1​=0

将A和λ1代入，得到：
( 1 1 1 1 ) ( x 1 x 2 ) = ( 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} (11​11​)(x1​x2​​)=(00​)

解方程组，得到特征向量X1为：
X 1 = ( − 1 1 ) X_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} X1​=(−11​)

对于特征值3，同样根据特征向量的定义，有：
( A − λ 2 I ) X 2 = 0 (A - \lambda_2 I) X_2 = 0 (A−λ2​I)X2​=0

将A和λ2代入，得到：
( − 1 1 1 − 1 ) ( x 1 x 2 ) = ( 0 0 ) \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} (−11​1−1​)(x1​x2​​)=(00​)

解方程组，得到特征向量X2为：
X 2 = ( 1 1 ) X_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} X2​=(11​)

因此，矩阵A的特征向量为 ( − 1 1 ) \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} (−11​)和 ( 1 1 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} (11​)。

需要注意的是，特征向量不是唯一的，但对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。在实际应用中，我们通常选取单位特征向量，即长度为1的特征向量。

2.矩阵求逆

矩阵求逆是指对于一个给定的n阶方阵A，在A存在逆矩阵的情况下，求出其逆矩阵的过程。逆矩阵是指存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。

求解方法：

1. 判断矩阵是否可逆：若矩阵A可逆，则det(A)≠0。因此，计算矩阵A的行列式det(A)，若其不等于0，则矩阵A可逆。

2. 求解伴随矩阵：若矩阵A可逆，则其伴随矩阵Adj(A)为其代数余子式组成的矩阵的转置。即，对于矩阵A的第i行第j列元素A，其对应的代数余子式A的符号为(-1)，则伴随矩阵的第i行第j列元素为A。

3. 求解逆矩阵：若矩阵A可逆，则其逆矩阵为A = (1/det(A))×Adj(A)

例题：
求解矩阵A = [2, 1; 1, 1]的逆矩阵。

解：

1. 判断矩阵A是否可逆：计算其行列式det(A) = 2×1 - 1×1 = 1，因此矩阵A可逆。

2. 求解伴随矩阵：对于矩阵A的元素A=2，A=1，A=1，A=1，其对应的代数余子式分别为A=1，A=-1，A=-1，A=2。因此，伴随矩阵为Adj(A) = [1, -1; -1, 2]。

3. 求解逆矩阵：根据公式A = (1/det(A))×Adj(A)，将矩阵A和伴随矩阵Adj(A)带入，得到A = (1/1)×[1, -1; -1, 2] = [1, -1; -1, 2]。

因此，矩阵A的逆矩阵为A = [1, -1; -1, 2]。

3.求积分

积分是数学中重要的概念之一，它是对函数的面积或曲线长度的量化描述。积分在数学的各个领域中都有广泛的应用，比如微积分、常微分方程、偏微分方程、概率论等等。

定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]划分成n个小区间，其中第i个小区间为[xi-1, xi]，对于任意一个小区间[xi-1, xi]，取其中任意一点ξi，令Δxi=xi-xi-1，Δx=max{Δxi}，则当Δx趋于0时，称∑f(ξi)Δxi的极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为∫f(x)dx，即

∫f(x)dx = lim∑f(ξi)Δxi

常见积分公式：

1. 基本积分公式

∫xdx = x/(n+1) + C (n≠-1)

其中，C为常数。

1. 换元积分法

设有函数u=g(x)在区间[a,b]上连续可微，函数f(u)在区间[g(a),g(b)]上连续，则

∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du

这个公式称为换元积分法。其中，u=g(x)称为换元，g’(x)称为Jacobi行列式。

1. 分部积分法

若函数u(x)和v(x)都在区间[a,b]上连续可微，则有

∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x)∣ - ∫v(x)u’(x)dx

这个公式称为分部积分法，它可以将一个积分转化为另一个积分。

例题：
求解定积分∫sinx dx

解：由基本积分公式，有∫sinx dx = -cosx + C，因此

∫sinx dx = [-cosx] = -cos(π/2) + cos(0) = 1

因此，定积分∫sinx dx的值为1。

4.求导

关于求导的定义和常见求导公式，我们来简单介绍一下：

定义：
设函数y=f(x)，在点x处有导数f’(x)，则称f’(x)为函数y=f(x)在点x处的导数。导数表示函数在某一点上的变化率。

常见求导公式：

1. 基本求导公式

常见的函数求导公式如下：

(1) 常数函数 y=C，导数为0

(2) 幂函数 y=x，导数为y’=nx

(3) 指数函数 y=a，导数为y’=alna

(4) 对数函数 y=logx，导数为y’=1/(xlna)

(5) 三角函数 y=sin x，导数为y’=cos x；y=cos x，导数为y’=-sin x；y=tan x，导数为y’=secx

1. 链式法则

链式法则可以用来求复合函数的导数。设y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))的导数为

y’ = f’(g(x))g’(x)

例如，对于函数y=sin(2x+1)，我们可以先设u=2x+1，则y=sin u，根据链式法则，有

y’ = cos u * (2x+1)’ = 2cos(2x+1)

因此，y的导数为2cos(2x+1)。

1. 导数的四则运算

导数的四则运算规则与普通的计算规则一样，可以分别对每一项求导，然后相加或相乘。具体规则如下：

(1) 常数倍法则：如果函数y=f(x)在点x处可导，则k*y=k*f(x)在点x处也可导，且(k*y)’=k*y’

(2) 和差法则：如果函数y=f(x)和g(x)在点x处可导，则它们的和、差也可导，且(y+g)’=f’(x)+g’(x)，(y-g)’=f’(x)-g’(x)

(3) 积法则：如果函数y=f(x)和g(x)在点x处可导，则它们的积也可导，且(y*g)’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)

(4) 商法则：如果函数y=f(x)和g(x)在点x处可导，且g(x)不为0，则它们的商也可导，且(y/g)’=(f’(x)g(x)-f(x)g’(x))/[g(x)]

例题：
求解函数y=3xsinx的导数

解：根据导数的四则运算法则，可以先对每一项进行求导，然后相加。对于函数y=3xsinx，有

y’ = (3x)‘sinx + 3x(sinx)’ = 6xsinx + 3xcosx

因此，函数y=3xsinx的导数为6xsinx + 3xcosx。