1979-A threshold selection method from gray-level histograms

1 论文简介

《A threshold selection method from gray-level histograms》是由日本学者大津于 1979 年发表在 IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS 上的一篇论文。该论文提出了一种基于图像灰度直方图的阈值化方法，计算简单，且不受图像亮度和对比度的影响，被称为阈值分割领域的最佳算法之一。以下称 Otsu 法。

2 算法原理

假设原始图像的最大灰度级为 L L L，第 i i i 级的像素数用 n i n_i ni​ 表示，那么原始图像的总像素数 N N N 计算如下：
N = n 1 + n 2 + . . . + n i + . . . + n L (1) {N=n_1+n_2+...+n_i+...+n_L} \tag{1} N=n1​+n2​+...+ni​+...+nL​(1)
归一化直方图 p i p_i pi​ 表示如下：
p i = n i / N , p i ≥ 0 , ∑ i = 1 L p i = 1 (2) {p_i=n_i/N},{\quad \quad} p_i \geq 0,{\sum_{i=1}^Lp_i=1} \tag{2} pi​=ni​/N,pi​≥0,i=1∑L​pi​=1(2)
现假设通过 k k k 级阈值将直方图分为 C 0 C_0 C0​ 和 C 1 C_1 C1​ 两类（目标和背景），则 C 0 C_0 C0​ 和 C 1 C_1 C1​ 的累积概率、均值分别为：
ω 0 = ∑ i = 1 k p i (3) \omega_0={\sum_{i=1}^{k}p_i} \tag{3} ω0​=i=1∑k​pi​(3) ω 1 = ∑ i = k + 1 L p i (4) \omega_1={\sum_{i=k+1}^{L}p_i} \tag{4} ω1​=i=k+1∑L​pi​(4) μ 0 = ∑ i = 1 k i p i / ω 0 (5) \mu_0={\sum_{i=1}^{k}ip_i/{\omega_0}} \tag{5} μ0​=i=1∑k​ipi​/ω0​(5) μ 1 = ∑ i = k + 1 L i p i / ω 1 (6) \mu_1={\sum_{i=k+1}^{L}ip_i/{\omega_1}} \tag{6} μ1​=i=k+1∑L​ipi​/ω1​(6)
故 k k k 级阈值下的类间方差 σ B \sigma_B σB​ 为：
σ B = ω 0 ω 1 ( μ 1 − μ 0 ) 2 (7) \sigma_B={\omega_0}{\omega_1}{\left({\mu_1}-{\mu_0}\right)}^2 \tag{7} σB​=ω0​ω1​(μ1​−μ0​)2(7)
最佳阈值 k ∗ k^* k∗ 计算如下：
σ B ( k ∗ ) = max ⁡ 1 ≤ k < L σ B ( k ) (8) {\sigma_B\left(k^*\right)}={\max_{1{\leq}k<L}}{\sigma_B\left(k\right)} \tag{8} σB​(k∗)=1≤k<Lmax​σB​(k)(8)
值得注意的是，该方法非常容易拓展至多阈值的情形。

3 实验结果

4 参考文献

[1] Otsu N. A threshold selection method from gray-level histograms[J]. IEEE transactions on systems, man, and cybernetics, 1979, 9(1): 62-66.

5 代码链接

代码。