质因数分解的复杂是公认，这也是我们将他作为 RSA (一种广泛使用的公钥加密算法)的数学难题的原因。
\(N=P*Q\) (P、Q是质数)，n = length of N in bit
对于这么一个N，我们因数分解得到结果的时间复杂度是 \(2^n\) ，因为这个复杂，所以也有一堆的数学家在努力降低这个的时间复杂度，目前的优化结果的时间复杂度是 \(2^{ \sqrt[3]{n}}\) 。
那么量子是否能够有更好的结果呢？
在讲因数分解之前，需要先提周期查找算法。
周期查找 Period Finding
周期查找的基础是 量子傅里叶变换 。
Input :
\(f:(0,1,2,…,M-1) \rightarrow S\) for all x \(f(x)=f(x+r)\)
challenge ：
find r
condition:
1) f is 1-1 on period 在周期内，f是一个一一对应的函数
2）\(M>>r\) \(M>2r^2\)
3）M能够被r整除 （这是一个简化条件，稍后会有不简化的怎么办）
这个电路，我的输入是 $ \frac{1}{\sqrt M} \sum_{x=0}^{M-1} |x\rangle |0\rangle$
经过f(x)后，我的量子叠加态是 $ \frac{1}{\sqrt M} \sum_{x=0}^{M-1} |x\rangle |f(x)\rangle$
此时，如果测量了下面的 f(x)，那么上面的量子态会坍缩，会变成只有f(x)等于测量结果的x，显而易见，这是一个周期函数。
在 量子傅里叶变换 中，我们提到过傅里叶变换的第一个特点，当输入shift了，结果是不会变的。
也就是说，我测量的随机结果可能是这个周期当中的i个值，我也能shift成在第一个位置。
即，把 [0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ……] (每个周期五个，第三个为1，其余为0) 变成 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 …… ] (每个周期五个，第三个为1，其余为0) 。
他们经过傅里叶变换后的结果是一样的。
其实到这里，我们发现，我们测不测量f(x)其实都没有关系，因为在这前面所有测量结果对应的x，都是同一个周期的周期函数，因为shift的原因，他们傅里叶变换后的结果都是一样的。
那么，这么做的意义是？
量子傅里叶变换还有第二个特点：傅里叶变换可以改变周期函数的周期。
他可以把周期为r的函数，变成周期为 \(\frac{M}{r}\) 的函数。
对最后的这个函数测量，得到的结果是 \(\frac{M}{r}\) 的倍数，多测量几次就知道了 \(\frac{M}{r}\) 的值。知道了这个值，很容易反推出r的值，周期查找完成。
如果没有简化条件呢？
即，M不是r的倍数。
那，假设测量结果为L，则找到一个最接近 \(\frac{L}{M}\) 的分数 \(\frac{t}{r}\) ，唯一的要求是 \(M>2r^2\) 最后通过一种叫做continued fraction的方法找到r。
因数分解
一个例子：
问题：找N=21的因数。
解法：
step 1:
\(2^0=1 (\mod 21)\) 除以21后余数为1
\(2^1=2 (\mod 21)\)
\(2^2=4 (\mod 21)\)
\(2^3=8 (\mod 21)\)
\(2^4=16 (\mod 21)\)
\(2^5=11 (\mod 21)\)
\(2^6=1 (\mod 21)\)
step 2:
\(2^6-2^0=0 (\mod 21)\)
\(2^6-1=0 (\mod 21)\)
\((2^3-1)(2^3+1)=0 (\mod 21)\)
到这一步，我们发现了什么？
\((2^3-1)(2^3+1)\)是21的倍数，那么他的两个因数 \((2^3-1)\) 和 \((2^3+1)\) 一定和21有公约数。
gcd(21,7)=7
gcd(21,9)=3
gcd求最大公约数大家还熟悉吗？
比如说，我们相找21和15的最大公约数。
\(21=15*1+6\)
\(15=6*2+3\)
\(6=3*2+0\)
最大公约数就是最后一个不为0的余数，这里就是3。求最大公约数的算法很快，大概是在 \(log N\) 的级别。
那么现在的问题其实就是step1 ，找到函数 \(f(a)=x^a \mod N\) 的周期，在上述例子中 \(2^0\) 和 \(2^6\) 取余相等，这就是一个周期，周期为6.
现在因数分解问题就全部转化为了周期查找问题。
而周期查找问题恰好，有量子加速的方法，前文已经提过了，不再累述，我们知道周期查找有一个前提条件是 \(M> 2r^2\) ，在这个例子中，我们不知道r是多少，这个是我们要求的，但是我们知道，r<N，所以直接让 \(M > 2N^2\) 就好。
变成电路图就是：
得到周期，然后经过 step 2 就是我们想要的因数分解。