在量子力学中，全局相位和局部相位都是关于特定量子态的特性。对于单量子比特的量子态，我们通常表示为 ∣ ψ ⟩ = α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩，其中 α \alpha α 和 β \beta β 是复数，并满足 ∣ α ∣ 2 + ∣ β ∣ 2 = 1 |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 ∣α∣2+∣β∣2=1 以保证量子态的归一性。
全局相位：量子态的全局相位是相对于一个特定的参考态（通常是 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩）定义的。如果我们将 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩ 乘以一个复数相位因子 e i ϕ e^{i\phi} eiϕ，得到的量子态 e i ϕ ∣ ψ ⟩ e^{i\phi}|\psi\rangle eiϕ∣ψ⟩ 是和原始的量子态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩ 描述的是同一个物理状态，只是全局相位不同。全局相位在物理观测中是不可测的。
局部相位：量子态的局部相位是相对于其自身的基态（例如 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ 和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩）定义的。对于量子态 ∣ ψ ⟩ = α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩，局部相位通常是指 α \alpha α 和 β \beta β 的相位差，即 arg ( β ) − arg ( α ) \arg(\beta) - \arg(\alpha) arg(β)−arg(α)。局部相位在某些情况下是可以通过量子干涉实验来测量的。
计算公式如下：
全局相位： ϕ g = arg ( α ) \phi_g = \arg(\alpha) ϕg=arg(α)
局部相位： ϕ l = arg ( β ) − arg ( α ) \phi_l = \arg(\beta) - \arg(\alpha) ϕl=arg(β)−arg(α)
这里 arg ( x ) \arg(x) arg(x) 是复数 x x x 的幅角函数，返回的是 x x x 的相位（在 − π -π −π 到 π π π 的范围内）。
注意，这些都是理论上的定义和计算方式，在实际的量子系统中，由于全局相位在物理观测中是不可测的，因此我们通常只关注局部相位。同时，局部相位也不是直接可测的，而是需要通过如量子干涉等技术来间接测量。
θ = arg ( z ) = arctan ( y x ) \theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) θ=arg(z)=arctan(xy)
这个表达式是计算两个量子态 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_1\rangle ∣ψ1⟩ 和 ∣ ψ 2 ⟩ |\psi_2\rangle ∣ψ2⟩ 之间的相位。分子 ⟨ ψ 1 ∣ ψ 2 ⟩ \langle\psi_1|\psi_2\rangle ⟨ψ1∣ψ2⟩ 是两个态之间的内积，而分母 ∣ ⟨ ψ 1 ∣ ψ 2 ⟩ ∣ |\langle\psi_1|\psi_2\rangle| ∣⟨ψ1∣ψ2⟩∣ 是内积的绝对值。
内积 ⟨ ψ 1 ∣ ψ 2 ⟩ \langle\psi_1|\psi_2\rangle ⟨ψ1∣ψ2⟩ 是一个复数，它的绝对值给出了两个态的重叠度（或者说相似度），而它的相位给出了两个态的相位差。因此，这个表达式的结果是一个模为1的复数，其相位等于两个态的相位差。
这个表达式常常在量子力学中用于计算两个态之间的相位关系。例如，如果我们有两个态 ∣ ψ 1 ⟩ = ∣ 0 ⟩ |\psi_1\rangle = |0\rangle ∣ψ1⟩=∣0⟩ 和 ∣ ψ 2 ⟩ = e i ϕ ∣ 0 ⟩ |\psi_2\rangle = e^{i\phi}|0\rangle ∣ψ2⟩=eiϕ∣0⟩，那么 ⟨ ψ 1 ∣ ψ 2 ⟩ ∣ ⟨ ψ 1 ∣ ψ 2 ⟩ ∣ = e i ϕ \frac{\langle\psi_1|\psi_2\rangle}{|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|} = e^{i\phi} ∣⟨ψ1∣ψ2⟩∣⟨ψ1∣ψ2⟩=eiϕ 就给出了 ∣ ψ 2 ⟩ |\psi_2\rangle ∣ψ2⟩ 相对于 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_1\rangle ∣ψ1⟩ 的相位。
在这个特定的例子中，全局相位并没有明确的意义，因为我们并没有一个固定的参照态来定义全局相位。全局相位通常是指一个量子态相对于一个固定参照态（如 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩ 或者 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩）的相位。
然而，我们可以计算两个态之间的相对相位，也就是 ∣ ψ 1 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) ∣ψ1⟩=2 1(∣0⟩+∣1⟩) 和 ∣ ψ 2 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + e i ϕ ∣ 1 ⟩ ) |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle) ∣ψ2⟩=2 1(∣0⟩+eiϕ∣1⟩) 之间的相位差。这个相位差是通过比较 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_1\rangle ∣ψ1⟩ 和 ∣ ψ 2 ⟩ |\psi_2\rangle ∣ψ2⟩ 中 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 的系数来得到的。
在 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_1\rangle ∣ψ1⟩ 中， ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 的系数是 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 1；而在 ∣ ψ 2 ⟩ |\psi_2\rangle ∣ψ2⟩ 中， ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 的系数是 e i ϕ 2 \frac{e^{i\phi}}{\sqrt{2}} 2 eiϕ。因此，两个态之间的相对相位就是 e i ϕ e^{i\phi} eiϕ 的相位，也就是 ϕ \phi ϕ。
所以，相对于 ∣ ψ 1 ⟩ |\psi_1\rangle ∣ψ1⟩， ∣ ψ 2 ⟩ |\psi_2\rangle ∣ψ2⟩ 的相对相位是 ϕ \phi ϕ。
假设我们有一个量子比特，它的状态是 ∣ ψ ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle ∣ψ⟩=2 1∣0⟩+2 1∣1⟩。这个量子比特处于一个叠加态，我们测量它在基态{ ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩, ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩}中的状态时，得到 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩的概率都是 1 / 2 1/2 1/2。
现在，我们对这个量子比特施加一个全局相位，得到新的状态 ∣ ψ ′ ⟩ = e i θ ∣ ψ ⟩ = e i θ ( 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ ) = 1 2 e i θ ∣ 0 ⟩ + 1 2 e i θ ∣ 1 ⟩ |\psi'\rangle = e^{i\theta}|\psi\rangle = e^{i\theta}(\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\theta}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\theta}|1\rangle ∣ψ′⟩=eiθ∣ψ⟩=eiθ(2 1∣0⟩+2 1∣1⟩)=2 1eiθ∣0⟩+2 1eiθ∣1⟩。
你会看到，尽管我们改变了量子态的相位，但是我们测量新的量子态 ∣ ψ ′ ⟩ |\psi'\rangle ∣ψ′⟩在基态{ ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩, ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩}中的状态时，得到 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩和 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩的概率仍然都是 1 / 2 1/2 1/2。这就说明，全局相位的变化并不影响物理观测结果。
然而，如果我们对这个量子比特施加一个局部相位，只改变 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩的相位，得到新的状态 ∣ ψ ′ ′ ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 e i ϕ ∣ 1 ⟩ |\psi''\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\phi}|1\rangle ∣ψ′′⟩=2 1∣0⟩+2 1eiϕ∣1⟩。那么，当我们进行某些特定的测量（如测量在其他基上的概率分布，或者做一个量子干涉实验）时，我们就能看到这个相位变化的影响了。
我们来看一个具体的例子。假设我们有一个量子比特，它的初始状态是 ∣ ψ ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle ∣ψ⟩=2 1∣0⟩+2 1∣1⟩。我们可以验证，这个量子比特在基态 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩和 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩下的测量概率都是50%。
现在，我们对这个量子比特施加一个局部相位，只改变 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩的相位，得到新的状态 ∣ ψ ′ ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 e i ϕ ∣ 1 ⟩ |\psi'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\phi}|1\rangle ∣ψ′⟩=2 1∣0⟩+2 1eiϕ∣1⟩。
我们可以计算出这个新的量子态在基态 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩和 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩下的测量概率。为了简化计算，我们假设 ϕ = π \phi = \pi ϕ=π，那么新的量子态就变成了 ∣ ψ ′ ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ − 1 2 ∣ 1 ⟩ |\psi'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle ∣ψ′⟩=2 1∣0⟩−2 1∣1⟩。
在这个情况下，我们可以发现，新的量子态在基态 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩下的测量概率变成了0%，而在基态 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩下的测量概率变成了100%。这就说明，局部相位的改变影响了量子态在新基下的测量结果。
你可以试着计算其他值的 ϕ \phi ϕ，会发现局部相位的改变确实会影响量子态在新基下的测量结果。
初始状态 ∣ ψ ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle ∣ψ⟩=2 1∣0⟩+2 1∣1⟩实际上就是 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩状态。所以在 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩和 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩的基下测量，得到 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩的概率是100%，而得到 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩的概率是0%。
当我们对 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩施加一个 π \pi π的局部相位后，新的状态变为 ∣ ψ ′ ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ − 1 2 ∣ 1 ⟩ |\psi'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle ∣ψ′⟩=2 1∣0⟩−2 1∣1⟩，这实际上就是 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩状态。所以在 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩和 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩的基下测量，得到 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩的概率是0%，而得到 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩的概率是100%。
在这个例子中，我们有一个两量子比特的态 ∣ ψ ⟩ = 1 2 ( ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ ) |\psi\rangle=\sqrt{\frac{1}{2}}(|01\rangle-|10\rangle) ∣ψ⟩=21 (∣01⟩−∣10⟩)。我们可以看到这个态已经是一个规范化的态，因为 ∣ 01 ⟩ |01\rangle ∣01⟩和 ∣ 10 ⟩ |10\rangle ∣10⟩的概率振幅的模的平方和为1。
全局相位是作用在整个量子态上的相位。例如，我们可以通过乘以一个复数来添加一个全局相位，得到新的量子态 ∣ ψ ′ ⟩ = e i θ ∣ ψ ⟩ = 1 2 e i θ ( ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ ) = 1 2 ( e i θ ∣ 01 ⟩ − e i θ ∣ 10 ⟩ ) |\psi'\rangle = e^{i\theta}|\psi\rangle = \sqrt{\frac{1}{2}}e^{i\theta}(|01\rangle-|10\rangle) = \sqrt{\frac{1}{2}}(e^{i\theta}|01\rangle - e^{i\theta}|10\rangle) ∣ψ′⟩=eiθ∣ψ⟩=21 eiθ(∣01⟩−∣10⟩)=21 (eiθ∣01⟩−eiθ∣10⟩)。这就是一个全局相位，因为它作用在了整个量子态上。
局部相位则是只作用在部分量子态上的相位。例如，我们可以仅仅在 ∣ 01 ⟩ |01\rangle ∣01⟩上添加一个相位，得到新的量子态 ∣ ψ ′ ′ ⟩ = 1 2 ( e i ϕ ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ ) |\psi''\rangle = \sqrt{\frac{1}{2}}(e^{i\phi}|01\rangle - |10\rangle) ∣ψ′′⟩=21 (eiϕ∣01⟩−∣10⟩)。这就是一个局部相位，因为它只作用在了 ∣ 01 ⟩ |01\rangle ∣01⟩上，而没有作用在 ∣ 10 ⟩ |10\rangle ∣10⟩上。
全局相位的改变并不会影响物理观测结果，而局部相位的改变则可能会影响物理观测结果，例如在量子干涉中。
设有一个单量子比特的初始态 ∣ ψ ⟩ = ∣ 0 ⟩ |\psi\rangle = |0\rangle ∣ψ⟩=∣0⟩，经过以下操作后进行测量得到结果 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩：
将 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩ 应用一个 Hadamard 门： H ∣ ψ ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) H|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) H∣ψ⟩=2 1(∣0⟩+∣1⟩)。
将 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩ 作为控制比特，将一个目标比特 ∣ − ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle) ∣−⟩=2 1(∣0⟩−∣1⟩) 作为目标比特，进行 CNOT 操作： C N O T ∣ ψ ⟩ , ∣ − ⟩ 1 2 ( ∣ 0 ⟩ ∣ − ⟩ + ∣ 1 ⟩ ∣ + ⟩ ) CNOT_{|\psi\rangle,|-\rangle} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|-\rangle + |1\rangle|+\rangle) CNOT∣ψ⟩,∣−⟩2 1(∣0⟩∣−⟩+∣1⟩∣+⟩)。
测量第一个量子比特。如果测量结果为 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0⟩，则目标比特测量结果为 ∣ − ⟩ |-\rangle ∣−⟩；如果测量结果为 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩，则目标比特测量结果为 ∣ + ⟩ |+\rangle ∣+⟩。
C N O T ∣ ψ ⟩ , ∣ − ⟩ 1 2 ( ∣ 0 ⟩ ∣ − ⟩ + ∣ 1 ⟩ ∣ + ⟩ ) = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ ∣ − ⟩ − ∣ 1 ⟩ ∣ + ⟩ ) CNOT_{|\psi\rangle,|-\rangle}\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|-\rangle + |1\rangle|+\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle|-\rangle - |1\rangle|+\rangle) CNOT∣ψ⟩,∣−⟩2 1(∣0⟩∣−⟩+∣1⟩∣+⟩)=2 1(∣0⟩∣−⟩−∣1⟩∣+⟩)
在这个例子中，相位反转发生在第 2 步，当控制比特 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ψ⟩ 的状态为 ∣ 1 ⟩ |1\rangle ∣1⟩ 时，目标比特的相位将反转。