2012年国赛高教杯数学建模
B题 太阳能小屋的设计
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。
在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。
在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。
问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
附件1：光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求
附件2：给定小屋的外观尺寸图
附件3：三种类型的光伏电池（A单晶硅、B多晶硅、C非晶硅薄膜）组件设计参数和市场价格
附件4：大同典型气象年气象数据。特别注意：数据库中标注的时间为实际时间减1小时，即数据库中的11:00即为实际时间的12:00
附件5：逆变器的参数及价格
附件6：可参考的相关概念
附件7：小屋的建筑要求
整体求解过程概述(摘要)
本文在太阳能应用与太阳能小屋设计的实际背景下，对逆变器与光伏电池的选择、配对，光伏电池的铺设以及房屋的设计建立了相关模型进行研究。
为了简化问题，首先我们定义了收益这一指标，并在每一问中都根据收益来剔除出不满足要求的光伏电池或组。
针对问题一，在仅考虑贴附安装方式情况下，对小屋部分表面铺设光伏电池，并选配相应逆变器要使得年发电量尽可能大，单位发电费用尽量低。为此，本文建立了多目标规划模型，考虑到模型求解的复杂性，本文设计了一个启发式算法，利用Matlab软件构造0-1矩阵来模拟实际铺设，得到了一个优化的铺设方式，结果为：开头全年发电量为1580735kw·h，年发电量为497942kw·h，纯收入为73195元，投资的回报年限为23.7年，单位发电成本为0.353元。
针对问题二，架空方式安装光伏电池的情况下，光伏电池可选择不同的倾角和朝向。本文首先建立了多目标规划模型(同题一),并证明取得最优解的必要条件是最佳倾角与朝向。因此,本文又建立了无约束优化模型，根据相关知识，光伏电池最佳倾角近似等于当地纬度即40°，最佳朝向为正南偏西，具体的优化计算利用Excel进行小范围的一维等步长搜索，得到最佳倾角与水平面呈38°，最佳朝向与正南方向呈22°（偏西）,然后转化为问题一，求解结果为：开头全年发电量为23685kw·h，35年发电量为746100 kw·h，纯收入为122374元，投资的回报年限为21.1年，单位发电成本为0.336元。
问题三要求按规范设计一个小屋,并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池。本文在利用前两题的成果的前提下，建立了非线性规划模型，利用Lingo求解，得出小屋的具体建筑尺寸，然后转化为问题一并求解，得到房屋的长为15m，宽为3.3m,朝南墙的高度为2.8m。结果为：35年发电量为805968 kw·h，单位发电成本为0.332元。
本文在建模的过程中，通过实际收益来控制光伏电池与组的选择，尽量考虑到实际情况，所以模型具有良好的实际应用性和较强的可扩展性。
模型假设：
假设一：该全年气象数据可以代表大同市未来35年的典型气象数据;
假设二：每块电池板只考虑表面光照面积所接受的光能，不考虑由深度遮光带来的影响;
假设三：一个逆变器和若干个光伏电池组成一组，一组中的光伏电池必须安排在 同一个表面上，但它们可以随意的分布在表面的任何位置，且逆变器不铺设在表面，即其不占用表面面积。
假设四：本题中的成本费用只计算光伏电池与逆变器的成本费不计算安装费用
假设五：逆变器与光伏电池相连必须要满足开路电压之和小于逆变器的上限
问题分析：
对大同市时间的理解:
由于地理经纬度差异的存在，大同当地时间是北京时间减一小时，即数据库中的时间为当地时间。在后续计算中利用的是当地时间即数据库时间。
对附件中各方向辐射强度的理解：
附件中东南西北四个方向的总辐射值是可以通过水平面总辐射，散射辐射，法相辐射推算求得。又因为小屋朝正南，所以房屋东南西北四个侧面的辐射强度等于附件中东南西北面的总辐射强度；对于房顶的两个侧面，我们需要通过水平面总辐射强度，水平面散射辐射强度以及法向直射辐射强度计算得到。
对任意面上光辐射总强度的理解：
本题中任意面的光辐射强度由直接辐射强度，散射辐射强度与反射辐射强度之和组成，经计算验证了在本问题中反射辐射强度对于总的光辐射强度的影响相对较小，因此本题忽略反射辐射的影响，但反射辐射可以解释部分数据出现的不合理现象。
对最优铺设方式的理解：
对于本题中太阳能小屋所发的电是接入电网的，不需要考虑夏季发电过多而冬季发电过少所导致的季节分配不合理性，只需要考虑全年发电量最大即可。
对于各种参数的理解：
峰瓦，即在标准测试条件下太阳能电池组件或方阵的额定最大输出功率，在此将附件3的电池组建功率作为其峰瓦值，可得到不同电池的成本价。
对小屋总发电量最大的理解：
由于小屋总发电量为各表面的发电量总和，因为不同面之间发电量是独立无关的，因此追求总发电量的最大值等同于追求各个面的最大发电量。
对串并联问题的理解
串并联的前提条件照附件1中的要求，并且由于不同种类电池之间的太阳光辐照阈值存在差异，导致在某些时刻若两种不同电池并联会出现一段有电压一段舞电压的情况，因此不同种类之间的电池不可互相并联。
模型的建立与求解整体论文缩略图
全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可
程序代码：
clc,clear;
m=1010;n=139;
beixiemian(1:1:m,1:1:n)=1;%初始赋0,1
beixiemian(2:1:m-1,2:1:n-1)=0;
beixiemian1=ones(130,110)*2;%先生成C1的矩阵
beixiemian1(1,:)=1;beixiemian1(130,:)=1;beixiemian1(:,1)=1;beixiemian1(:,110)=1;
for x=2:1:880 %1010-130
for y=2:1:29
if any(any(beixiemian(x:1:x+129,y:1:y+109)))==0
beixiemian(x:1:x+129,y:1:y+109)=beixiemian1;
end
end
end
beixiemian2=ones(82,36)*2;%先生成C10的矩阵
beixiemian2(1,:)=1;beixiemian2(82,:)=1;beixiemian2(:,1)=1;beixiemian2(:,36)=1;
for x=2:1:928 %1010-82
for y=2:1:103
if any(any(beixiemian(x:1:x+81,y:1:y+35)))==0
beixiemian(x:1:x+81,y:1:y+35)=beixiemian2;
end
end
end
for i=1:1:m
for j=1:1:n
if beixiemian(i,j)==1
plot(i,j,'b.');hold on;
end
end
end
clc,clear;
m=710;n=440;
dong(1:1:m,1:1:n)=0;%初始赋0
for i=1:1:640
dong(i,floor(321+i*12/64):1:440)=2;
end
for i=1:1:640
dong(i,floor(320+(710-i)*12/7):1:440)=2;
end
for i=1:1:710
if i<640
j=floor(321+i*12/64);
else
j=floor(320+(710-i)*12/7);
end
dong(i,j)=1;
end
dong(340:1:450,1:1:250)=1;%men标记
dong(1,1:1:320)=1;dong(710,1:1:320)=1;dong(1:1:710,1)=1;%sanbian
dong1=ones(130,110)*2;%先生成C1的矩阵
dong1(1,:)=1;dong1(130,:)=1;dong1(:,1)=1;dong1(:,110)=1;
for x=2:1:579 %710-130
for y=2:1:329
if any(any(dong(x:1:x+129,y:1:y+109)))==0
dong(x:1:x+129,y:1:y+109)=dong1;
end
end
end
dong2=ones(82,36)*2;%先生成C10的矩阵
dong2(1,:)=1;dong2(82,:)=1;dong2(:,1)=1;dong2(:,36)=1;
for x=2:1:628 %710-82
for y=2:1:404
if any(any(dong(x:1:x+81,y:1:y+35)))==0
dong(x:1:x+81,y:1:y+35)=dong2;
end
end
end
for i=1:1:m
for j=1:1:n
if dong(i,j)==1
plot(i,j,'b.');hold on;
end
end
end
clc,clear;
m=1010;n=320;
xi(1:1:m,1:1:n)=0;%初始赋0
nan(1,:)=1;nan(m,:)=1;nan(:,1)=1;nan(:,n)=1;%sibian
for x=85:1:265 %门窗：边界标1，内部标2
for y=80:1:260
d=sqrt((x-175)^2+(y-170)^2);
if abs(d-90)<10^(-1)
nan(x,y)=1;
end
if d<90
nan(x,y)=2;
end
end
end
nan(350:1:710,1:1:250)=1;%两扇门
nan(351:1:709,2:1:249)=2;
nan(780:1:890,90:1:230)=1;
nan(781:1:889,91:1:229)=2;
nan1=ones(132,71)*2;%先生成C2的矩阵
nan1(1,:)=1;nan1(132,:)=1;nan1(:,1)=1;nan1(:,71)=1;
for x=2:1:878 %1010-132
for y=2:1:249
if any(any(nan(x:1:x+131,y:1:y+70)))==0
nan(x:1:x+131,y:1:y+70)=nan1;
end
end
end
nan2=ones(82,36)*2;%先生成C10的矩阵
nan2(1,:)=1;nan2(82,:)=1;nan2(:,1)=1;nan2(:,36)=1;
for x=2:1:928 %1010-82
for y=2:1:284
if any(any(nan(x:1:x+81,y:1:y+35)))==0
nan(x:1:x+81,y:1:y+35)=nan2;
end
end
end
for i=1:1:m
for j=1:1:n
if nan(i,j)==1
plot(i,j,'b.');hold on;
end
end
end