一、Non-linear Hypotheses
线性回归和逻辑回归在特征很多时，计算量会很大。
一个简单的三层神经网络模型：
\[a_i^{(j)} = \text{"activation" of unit $i$ in layer $j$}$$$$\Theta^{(j)} = \text{matrix of weights controlling function mapping from layer $j$ to layer $j+1$}
\]
\]
其中：$$a_1^{(2)} = g(\Theta_{10}^{(1)}x_0 + \Theta_{11}^{(1)}x_1 + \Theta_{12}^{(1)}x_2 + \Theta_{13}{(2)} = g(\Theta_{20}^{(1)}x_0 + \Theta_{21}^{(1)}x_1 + \Theta_{22}^{(1)}x_2 + \Theta_{23}{(2)} = g(\Theta_{30}^{(1)}x_0 + \Theta_{31}^{(1)}x_1 + \Theta_{32}^{(1)}x_2 + \Theta_{33}^{(1)}x_3)$$$$h_\Theta(x) = a_1^{(3)} = g(\Theta_{10}{(2)} + \Theta_{11}{(2)} + \Theta_{12}{(2)} + \Theta_{13}{(2)})$$
二、vectorized implementation
将上面公式中函数\(g\)中的东西用\(z\)代替：
\[a_1^{(2)} = g(z_1^{(2)})$$$$a_2^{(2)} = g(z_2^{(2)})$$$$a_3^{(2)} = g(z_3^{(2)})
\]
\]
令\(x=a^{(1)}\)：
\[z^{(j)} = \Theta^{(j-1)}a^{(j-1)}
\]
\]
得到：
\[\begin{aligned}z^{(j)} = \begin{bmatrix}z_1^{(j)} \\ z_2^{(j)} \\ \cdots \\z_n^{(j)}\end{bmatrix}\end{aligned}
\]
\]
这块的记号比较多，用例子梳理下：
实现一个逻辑与的神经网络：
那么：
所以有：
再来一个多层的，实现XNOR功能（两输入都为0或都为1，输出才为1）：
基本的神经元：
- 逻辑与
- 逻辑或
- 逻辑非
先构造一个表示后半部分的神经元：
这样的：
接着将前半部分组合起来：