[P1169] 棋盘制作 &悬线法学习笔记

学习笔记 悬线法

• 最大子矩阵问题：

在一个给定的矩形中有一些障碍点，找出内部不包含障碍点的，边与整个矩形平行或重合的最大子矩形。

极大子矩型：无法再向外拓展的有效子矩形

最大子矩型：最大的一个有效子矩形

特别的，在一个有障碍点的矩形中，最大子矩形一定是极大子矩形

• 悬线法

悬线：上端覆盖了一个障碍点或者到达整个矩形上边界的有效线段

每个悬线上的点的与底部的点一一对应，矩形中每一个点（矩形顶部点除外）都对应了一条悬线。

如果把一条悬线向左右两个方向尽可能的移动，那么就得到了一个矩形。

注意：悬线对应的矩型不一定是极大子矩阵，因为悬线定义中固定了悬线的下边界，故而，悬线左右移动所得到的矩形无法向下扩展。

• 悬线法的实现

      三个重要的元素：

1. height：表示以( i ,j )为底的悬线的高 (初始化为1)
2. left
3. right

其中的left,right要视题目要求进行进一步的初始化，如例题

转移：

如果点  不是障碍点，那么，以  为底的悬线就等于以  为底的悬线加点  到点       的线段。因此，  。

当然还要注意左右边界的问题

以上图片转自  https://zhuanlan.zhihu.com/p/46382722

画个图理解一下

那么计算面积就轻而易举

对于以点  为底的悬线对应的子矩形，其面积计算为

问题解：

时间复杂度：  ；空间复杂度： 

例题：luogu P1169 棋盘制作

直接上代码

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #define maxn 2010

 #define re register

 using namespace std;

 int n,m,ans1,ans2;

 int map[maxn][maxn],height[maxn][maxn];

 int l[maxn][maxn],r[maxn][maxn];

 int main()

 {

     scanf("%d%d",&n,&m);

     for(re int i=;i<=n;++i)

      for(re int j=;j<=m;++j)

      {

          scanf("%d",&map[i][j]);

          height[i][j]=;

          l[i][j]=r[i][j]=j;

      }

     for(re int i=;i<=n;++i)

      for(re int j=;j<=m;++j)

      {

          if(map[i][j]!=map[i][j-])

          l[i][j]=l[i][j-];

      }

     for(re int i=;i<=n;++i)

      for(re int j=m-;j>=;j--)

      {

          if(map[i][j]!=map[i][j+])

          r[i][j]=r[i][j+];

      }

     //以上为初始化

     for(re int i=;i<=n;++i)

       for(re int j=;j<=m;++j)

       {

           if(i>&&map[i][j]!=map[i-][j])

           {

               height[i][j]=height[i-][j]+;

               l[i][j]=max(l[i][j],l[i-][j]);

               r[i][j]=min(r[i][j],r[i-][j]);

         }

         int a=r[i][j]-l[i][j]+;

         int b=min(height[i][j],a);

         ans1=max(ans1,a*height[i][j]);//最大矩形

         ans2=max(ans2,b*b);//最大正方形

       }

       printf("%d\n%d",ans2,ans1);

     return ;

 }

注：部分内容转载自  
Flavius Buffon：悬线法用来求解最大子矩形问题 同时也是参考文献