伪随机码详解

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伪随机码

伪随机序列的概念

伪随机序列应当具有类似随机序列的性质。在工程上常用二元 {0,1} 序列来产生伪随机（噪声）码, 它具有以下几个特点:

• 在随机序列的每一个周期内 0 和 1 出现的次数近似相等。
• 每一周期内, 长度为 n \boldsymbol{n} n 的游程取值(相同码元的码元串)出现的次数比长度为 n+1 的游程次数多一倍。
• 随机序列的自相关类似于白噪声自相关函数的性质。

对伪随机码定义可写为

（1）凡自相关函数具有

ρ x ( j ) = { ∑ i = 1 n x i 2 p = 1 , j = 0 ∑ i = 1 n x i x i + j p = − 1 p , j ≠ 0 . \rho_{x}(j)=\{\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{2}}{p}=1, \quad j=0 \\ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i} x_{i+j}}{p}=-\frac{1}{p}, j \neq 0 \end{array}. ρx​(j)={∑i=1n​pxi2​​=1,j=0∑i=1n​pxi​xi+j​​=−p1​,j=0​.

形式的码, 称为伪随机码, 又称为狭义伪随机码。

(2) 凡自相关函数具有

ρ x ( j ) = { ∑ i = 1 n x i 2 / p = 1 j = 0 ∑ i = 1 n x i x i + j / p = a < 1 j ≠ 0 . \rho_{x}(j)=\{\begin{array}{ll} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} / p=1 & j=0 \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{i+j} / p=a<1 & j \neq 0 \end{array}. ρx​(j)={∑i=1n​xi2​/p=1∑i=1n​xi​xi+j​/p=a<1​j=0j=0​.

形式的码, 称为广义伪随机码。狭义伪随机码是广义伪随机码的特例。

伪随机序列的产生

可以用移位奇存器作为伪随机码产生器, 图1是一个4级移位寄存 器, 用它就可产生伪随机序列。图1中的反馈逻辑为
a n = a n − 3 ⊕ a n − 4 a_{n}=a_{n-3} \oplus a_{n-4} an​=an−3​⊕an−4​

当移位寄存器的初始状态是 a n − 4 = 1 a_{n-4}=1 an−4​=1, a n − 3 = 0 a_{n-3}=0 an−3​=0, a n − 2 = 0 a_{n-2}=0 an−2​=0, a n − 1 = 0 a_{n-1}=0 an−1​=0 , 经过一 个时钟节拍后, 各级状态自左向右移到下一级, 末级输出一位数, 与此同时模二加法器输出加到移位寄存器第一级, 从而形成移位 寄存器的新状态, 下一个时钟节拍到来又继续上述过程, 末级输出序列就是伪随机序列。在这种条件下, 产生的伪随机序列是

这是一个周期长度p=15的伪随机序列。

当上图的初始状态是 0 状态时, 即 a n − 4 = a n − 3 = a n − 2 = a n − 1 = 0 a_{n-4}=a_{n-3}=a_{n-2}=a_{n-1}=0 an−4​=an−3​=an−2​=an−1​=0 移存器的输 出是一个0序列。

4 级移存器共有 16 个状态, 除去一个 0 状态外, 还有 15 个状态。 对于图1来说, 只要随机序列的周期达到最大值, 这时无论如何 改变移存器的初始状态, 其输出只改变序列的初相, 序列的排 序规律不会改变。

但如果改变图四级移存器的反馈逻辑, 其输出序列就会发生变化。

反馈逻辑是 a n = a n − 2 ⊕ a n − 4 a_{n}=a_{n-2} \oplus a_{n-4} an​=an−2​⊕an−4​ , 时, 给定不同的初始状态1111、 0001 、 1011 , 可以得到三个完全不同的输出序列 111100111100…, 000101000101…，101101101101。它们的周期分别是6、6和3。

由此, 我们可以得出以下几点结论:

（1）线性移位寄存器的输出序列是一个周期序列。

（2）当初始状态是0状态时, 线性移位寄存器的输出是一个0序列。

（3）级数相同的线性移位寄存器的输出序列与寄存器的反馈逻辑有关。

（4）序列周期 p < < 2 n − 1 p^{<}<\mathbf{2}^{n}-1 p<<2n−1 (n级线性移位寄存器) 的同一个线性移存器的输 出还与起始状态有关。

（5） 序列周期 p n = 2 n − 1 p^{n}=2^{n}-1 pn=2n−1 的线性移位寄存器, 改变移位寄存起初始状态 只改变序列的起始相位, 而周期序列排序规律不变。

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.