题意
给你一个 $ n*n $ 的正实数矩阵 $ A $ ，满足XWW性。
称一个 $ n*n $ 的矩阵满足XWW性当且仅当：
- $ A[n][n] = 0 $
- 矩阵中每行的最后一个元素等于该行前 $ n-1 $ 个数的和（除最后一行）
- 矩阵中每列的最后一个元素等于该列前 $ n-1 $ 个数的和（除最后一列）
现在你要给 $ A $ 中的数进行取整操作（可以是上取整或者下取整），使得最后的 $ A $ 矩阵仍然满足XWW性。
问你 $ A $ 中元素之和最大为多少。如果无解，输出"No"。
题解
考虑将每一行和每一列看做一个点。
首先从源点向每一行 $ R(i) $ 连一条上下界分别为 $ (\lfloor A[i][n] \rfloor, \lceil A[i][n] \rceil) $ 的边，从每一列 $ C(i) $ 向汇点连一条上下界分别为 $ (\lfloor A[n][i] \rfloor, \lceil A[n][i] \rceil) $ 的边。
然后对于每一个 $ A[i][j] $ 来说，连一条从 $ R(i) $ 到 $ C(i) $ 的上下界为 $ (\lfloor A[i][j] \rfloor, \lceil A[i][j] \rceil) $ 边。
这样就保证了最大流一定满足了后两个条件。
然后跑有上下界的有源汇最大流就好。
AC Code
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#define MAX_N 205
#define INF 1000000000
#define r(x) (x)
#define c(x) (n-1+(x))
using namespace std;
struct Edge
{
int dst,cap,rev;
Edge(int _dst,int _cap,int _rev) { dst=_dst,cap=_cap,rev=_rev; }
Edge(){}
};
int n,s,t,S,T,tot,dif=0;
int a[MAX_N];
int it[MAX_N];
int lv[MAX_N];
double w[MAX_N][MAX_N];
vector<Edge> edge[MAX_N];
queue<int> q;
void read()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%lf",&w[i][j]);
}
}
}
inline void add(int s,int t,int c)
{
edge[s].push_back(Edge(t,c,edge[t].size()));
edge[t].push_back(Edge(s,0,edge[s].size()-1));
}
void build()
{
s=(n<<1)-1,t=s+1,S=t+1,T=S+1,tot=T;
for(int i=1;i<n;i++)
{
add(s,r(i),ceil(w[i][n])-floor(w[i][n]));
add(c(i),t,ceil(w[n][i])-floor(w[n][i]));
a[s]-=floor(w[i][n]),a[r(i)]+=floor(w[i][n]);
a[c(i)]-=floor(w[n][i]),a[t]+=floor(w[n][i]);
}
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j=1;j<n;j++)
{
add(r(i),c(j),ceil(w[i][j])-floor(w[i][j]));
a[r(i)]-=floor(w[i][j]),a[c(j)]+=floor(w[i][j]);
}
}
add(t,s,INF);
for(int i=1;i<=(n<<1);i++)
{
if(a[i]>0) dif+=a[i],add(S,i,a[i]);
else if(a[i]<0) add(i,T,-a[i]);
}
}
void bfs(int s)
{
memset(lv+1,0,sizeof(int)*tot);
q.push(s),lv[s]=1;
while(!q.empty())
{
int x=q.front(); q.pop();
for(int i=0;i<edge[x].size();i++)
{
Edge temp=edge[x][i];
if(temp.cap>0 && !lv[temp.dst])
{
lv[temp.dst]=lv[x]+1;
q.push(temp.dst);
}
}
}
}
int dfs(int x,int t,int f)
{
if(x==t) return f;
for(int &i=it[x];i<edge[x].size();i++)
{
Edge &temp=edge[x][i];
if(temp.cap>0 && lv[x]<lv[temp.dst])
{
int d=dfs(temp.dst,t,min(f,temp.cap));
if(d>0)
{
temp.cap-=d;
edge[temp.dst][temp.rev].cap+=d;
return d;
}
}
}
return 0;
}
int max_flow(int s,int t)
{
int ans=0,f;
while(true)
{
bfs(s);
if(!lv[t]) return ans;
memset(it+1,0,sizeof(int)*tot);
while((f=dfs(s,t,INF))>0) ans+=f;
}
}
void work()
{
build();
int now=max_flow(S,T);
if(now!=dif)
{
printf("No\n");
return;
}
printf("%d\n",max_flow(s,t)*3);
}
int main()
{
read();
work();
}