【统计推断】-01 抽样原理之（六）：三个示例

一、说明

   对于抽样问题，前几期文章都是理论探讨。本篇给出若干示例，展现具体的情况下，面对数据，如何给出处理策略。

二、处理有限的、大尺度的母体抽样

   【问题1】一所大学有3000名男生，身高服从均值为68.8英寸，标准差为3.0英寸的正态分布。设计抽样为80组样本，每组25名学生。
问题：1）有放回抽样。2）无放回抽样。问抽样均值抽样的均值和标准差是多少？
分析：抽样分布的空间：
   在有放回抽样中，样本分布的抽样组数量是 300 0 2 5 3000^25 300025,显然数量庞大。
   在不放回抽样中，样本分布的抽样组数量是 C 3000 25 C_{3000}^{25} C300025​,显然数量庞大。
   因此，大数定律成立。
   无论是有放回抽样中，还是不放回抽样中，抽样分布的样本数量远远高于80，因此，真实的的抽样分布无法获得，只能获得经验的抽样分布。
   1）对于有限母体，无放回抽样，以下公式成立

μ x ˉ = μ = 68.0 \mu_{\bar{x}}=\mu=68.0 μxˉ​=μ=68.0
σ x ˉ = σ N = σ N N p − N N p − 1 = 3 25 3000 − 25 3000 − 1 = 0.6 \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\sqrt{\frac{N_p-N}{N_p-1}}=\frac{3}{\sqrt{25}}\sqrt{\frac{3000-25}{3000-1}}=0.6 σxˉ​=N ​σ​=N ​σ​Np​−1Np​−N​ ​=25 ​3​3000−13000−25​ ​=0.6
2）对于有限母体，有放回抽样，以下公式成立
μ x ˉ = μ \mu_{\bar{x}}=\mu μxˉ​=μ
σ x ˉ = σ N \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}} σxˉ​=N ​σ​
μ x ˉ = μ = 68.0 \mu_{\bar{x}}=\mu=68.0 μxˉ​=μ=68.0; σ x ˉ = 4 25 = 0.6 \sigma_{\bar{x}}=\frac{4}{\sqrt{25}}=0.6 σxˉ​=25 ​4​=0.6

   结论：
   1）对于大容量的有限母体，因为抽样分布过于庞大，可以按无限母体处理。
   2）对于大容量的抽样分布，有放回和无放回抽样区别不大。
   3）上述样本均值的经验分布，可近似看成均值为68.8英寸，标准差为0，6的正态分布。

三、非参数的估计

   注意，抽样的参数估计并不是我们最后的目的，最后的目的是在样本参数估计的基础上，发掘出更多的特点。

   【问题2】在问题1中，在80个样本中，能够找到几个样本抽样，它们的特征是1）均值在66.8英寸和68.3英寸之间 2）均值小于66.4英寸。

   【分析】
   抽样分布的整体很大，因此无法穷举，因此，抽样分布也是一个估计而已。
通过上述计算，均值抽样满足 N ( 68 , 0. 6 2 ) N(68,0.6^2) N(68,0.62)的正态分布。

   因此，按照抽样分布中,均值抽样的样本落在【66.8，68.3】的概率是： P ( 66.8 ⩽ x ⩽ 68.3 ) P(66.8\leqslant x \leqslant 68.3) P(66.8⩽x⩽68.3)。
   以上是个非标准的，转化成标准正态分布后，可以查表得到P；通过s=P*80可以得到满足以上所条件的抽样数s。

【解决】样本标准化，一般指向以下步骤：
z = X ˉ − μ X ˉ σ X ˉ = X ˉ − 68.0 0.6 z=\frac{\bar{X}-\mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-68.0}{0.6} z=σXˉ​Xˉ−μXˉ​​=0.6Xˉ−68.0​
66.8 的标准值 = 66.8 − 68.0 0.6 = − 2 66.8的标准值=\frac{66.8-68.0}{0.6}=-2 66.8的标准值=0.666.8−68.0​=−2
68.3 的标准值 = 68.4 − 68.0 0.6 = 0.5 68.3的标准值=\frac{68.4-68.0}{0.6}=0.5 68.3的标准值=0.668.4−68.0​=0.5
从网上随便查找一个标准正态表：

   P(-2, 0.5) = 0.6915 - (1-0.9772) = 0.6687
s = 80*0.6687 = 53.49
   即在80组抽样中，估计有53个均值在66.8-68.3之间。

四、连续母体抽样技巧–分箱

   在数据分析过程中，常常遇到母体是连续分布的情况；按照理论上说，抽样数据在任意区间都应该是无限的，那么如何抽样？答案是用分箱技术，所谓分箱技术，就是将连续无限集合划分成有限集合的过程。这个过程当然是近似的。

   下面举出一个具体示例。
   对XYZ大学的100个男生进行抽样。这里母体就是有限100；对母体进行分箱后数据如下：

1. 以下是对分箱后的均值计算方法
   
   在没有任何信息的情况，均值计算如下：
   X ˉ = 0.05 × 61 + 0.18 × 64 + 0.42 × 67 + 0.27 × 70 + 0.08 × 73 0.05 + 0.18 + 0.42 + 0.27 + 0.08 = 67.45 \bar{X}=\frac{0.05\times 61+ 0.18\times64+ 0.42\times67+0.27\times70+0.08\times73}{0.05+0.18+0.42+0.27+0.08}=67.45 Xˉ=0.05+0.18+0.42+0.27+0.080.05×61+0.18×64+0.42×67+0.27×70+0.08×73​=67.45

2）在有如下抽样后，如何处理？

1）均值：通过【 67.75，66.25，67.75，69.25，67.0，66.25，65.5，68.5，68.5，67.0，66.25，68.5，68.5，67.75，67.0，66.25，69.25，69.25，68.5，66.25，69.25，64，67.75，69.25，66.25，67.0，70.0，68.5，68.5，65.5】输入python代码。很容易得到。

import statistics
data = [67.75,66.25,67.75,69.25,67.0,66.25,65.5,68.5,68.5,67.0,66.25,68.5,68.5,67.75,67.0,66.25,69.25,69.25,68.5,66.25,69.25,64,67.75,69.25,66.25,67.0,70.0,68.5,68.5,65.5]
mean = statistics.mean(data)
dev  = statistics.pstdev(data)

mean = 67.57

2）标准差

可以得到：
dev=1.40