一、说明
关于莫比乌斯变换，是一个代数几何变换的重要概念。也是双曲几何的重要理论，比如庞加莱盘就是建立在这个理论上，那么这个变换到底有哪些内容？本文将做出详细的解读。
二、线性变换和逆变换
在本节中，我们研究莫比乌斯变换，它提供了找到一个域到的一对一映射的非常方便的方法。让我们从线性变换开始。
2.1 线性变换
w = φ ( z ) : = A z + B w = φ(z) := Az + B w=φ(z):=Az+B
其中，其中 A 和 B 是固定复数， A ≠ 0 A \neq 0 A=0
w = φ ( z ) : = ∣ A ∣ e i A ( a ) z + B . w = φ(z) := |A|e^{iA(a)}z + B. w=φ(z):=∣A∣eiA(a)z+B.
正如我们所看到的，将变换分成三个部分：
1）一个变换是围绕原点经过一次旋转，旋转角度 Arg (a).
w 1 : = e i A r g ( a ) z w1 := e^{iArg (a)}z w1:=eiArg(a)z
2）放大倍数变换（magnification）
w 2 = ∣ A ∣ w 1 w2 = |A|w1 w2=∣A∣w1
3) 一个平移变换
w = w 3 = w 2 + B w = w_3 = w_2 + B w=w3=w2+B
2.2 逆变换
z = φ − 1 ( w ) : = 1 A ( w − B ) z = φ^{-1}(w) := \frac{1}{A}(w - B) z=φ−1(w):=A1(w−B)
显然也是一个线性变换。
通过上述分解，原来的变换就可以用相应的矩阵表示。
线性变换中的每一个都是复平面的一对一映射自身。直线和圆的变换分别是直线和圆。并且保证长度不变。
三、反演变换
现在我们考虑由下式定义的反转
w : = 1 z w :=\frac{1}{z} w:=z1
.
很容易看出，反转是扩展的一对一映射,复平面 C ˉ \mathbb{\bar{C}} Cˉ 到自身上（0 → ∞，反之亦然 ∞ → 0。）
3.1 过原点直线反演
我们将证明一条线的图像要么是一条线，要么是一个圆。
事实上，首先让 l l l 通过原点。点 ρ e i θ ρe^{iθ} ρeiθ 的图像为 1 ρ e − i θ \frac{1}{ρ}e^{-iθ} ρ1e−iθ 。让 ρ 从负无穷趋向正无穷，我们看到该图像是另一条穿过原点且具有一定倾斜角的线-θ.
3.2 任意直线的反演
现在让 L 由以下方程给出
L : A x + B y = C , L : Ax + By = C, L:Ax+By=C,
此时 C ≠ 0 , 且 ∣ A ∣ + ∣ B ∣ > 0 C\neq 0, 且 |A| + |B| > 0 C=0,且∣A∣+∣B∣>0. (3)
将 w : = 1 z w :=\frac{1}{z} w:=z1变换一个格式 z : = 1 w z :=\frac{1}{w} z:=w1，此时，z是直线上点，w是变换后的点。
设： w : = u + i v w :=u+iv w:=u+iv那么：
z = w ˉ ∣ w ∣ 2 = u − i v u 2 + v 2 z =\frac{\bar{w}}{|w|^2}=\frac{u − iv}{u^2 + v^2} z=∣w∣2wˉ=u2+v2u−iv
将z的实部虚部分别引入：
x = u u 2 + v 2 , y = − v u 2 + v 2 x =\frac{u}{u^2 + v^2}, y =\frac{−v}{u^2 + v^2} x=u2+v2u,y=u2+v2−v
由于z在直线L之上：
A u u 2 + v 2 + B − v u 2 + v 2 = C A\frac{u}{u^2 + v^2}+B\frac{−v}{u^2 + v^2}=C Au2+v2u+Bu2+v2−v=C
化简之后：
u 2 + v 2 − A C u + B C v = 0 u^2+v^2-\frac{A}{C}u+\frac{B}{C}v=0 u2+v2−CAu+CBv=0
显然，w=u+iv自身构成一个圆周。即，不过原点的直线，通过反演变换映射成圆周。
四、莫比乌斯变换
4.1 定义
在复平面上，设定下列变换：
w = f ( z ) = a z + b c z + d ； , ∣ a ∣ + ∣ c ∣ > 0 , a d − b c ≠ 0 w = f(z) = \frac{az + b}{cz + d}；, |a| + |c| > 0, ad − bc \neq0 w=f(z)=cz+daz+b；,∣a∣+∣c∣>0,ad−bc=0
这个变换称为，莫比乌斯变换。
讨论：
- 如果 c = 0，则莫比乌斯变换是线性的。
- 如果 c ≠ 0 , a = 0 c\neq 0, a = 0 c=0,a=0 那么,变换是一种反演。
- 考虑 a c ≠ 0 ac \neq 0 ac=0 的情况。那么 w 可以是:
写成
事实上，这是线性变换的分解和反函数。我们还注意到:
因此，w 在每个点 z ≠ − d / c z \neq -d/c z=−d/c处都是共形的。
4.2 共形性解释
共形变换，拓扑同胚，它们的直观解释是：将图画在柔软可拉升的平面皮革上，皮革可以任意卷曲拉伸，但原图像信息扭曲，但不损失。
4.3 莫比乌斯变换特性
定理1：若 f ( z ) f(z) f(z) 在区域 D D D 内解析，则在 f ′ ( z ) ≠ 0 f'(z) \neq 0 f′(z)=0 的点处，映射 f ( z ) f(z) f(z) 总有保角性、伸缩率不变性.
1）令 f 为莫比乌斯变换。然后f 可以表示为放大、旋转、平移的组合和反演。
2）f 将扩展的复平面映射到其自身上。
3）f 将 Circled 和 Lines 类映射到其自身。
4）f 除其极点外，在每一点都是共形的。
特点：
1.保角性
2.保域性，保圆性，保形性，保对称点性
五、莫比乌斯变换保圆性
1，分式线性函数。分式线性函数也称为分式线性变换，或者 Moibus 变换。它的一般形式为
w = a z + b c z + d , a d − b c ≠ 0 w=\frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne 0 w=cz+daz+b,ad−bc=0
若 a d − b c = 0 ad-bc=0 ad−bc=0 ，则分式线性函数为常数。因为
w = a z + b c z + d = a z c z + d + b c z + d = 1 c ⋅ a ( c z + d ) c d + d − 1 c ⋅ a d c z + d + b c z + d = a c − a d − b c c ( c z + d ) = a c \begin{align*}w&=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{az}{cz+d}+\frac{b}{cz+d}\\ &=\frac{1}{c}\cdot\frac{a(cz+d)}{cd+d}-\frac{1}{c}\cdot\frac{ad}{cz+d}+\frac{b}{cz+d}\\ &=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)}=\frac{a}{c}\end{align*} w=cz+daz+b=cz+daz+cz+db=c1⋅cd+da(cz+d)−c1⋅cz+dad+cz+db=ca−c(cz+d)ad−bc=ca
分式线性函数比较重要，是因为（1）它是单位圆上的全纯自同构群；（2）它是平面上的全纯自同构群；（3）它是扩充复平面上的亚纯自同构群。
这里，直线看成是半径为无穷大的圆。
2，分式线性变换的逆变换（分式线性函数的反函数）： z = − d w + b c w + a \displaystyle z=\frac{-dw+b}{cw+a} z=cw+a−dw+b
3，在扩充复平面上，分式线性函数将
（1）点 z = − d c z=-\frac{d}{c} z=−cd 变成 w = ∞ w=\infty w=∞;
（2） c = 0 c=0 c=0 时， z = ∞ z=\infty z=∞ 变成 w = ∞ w=\infty w=∞；
（3） c ≠ 0 c\ne 0 c=0 时， z = ∞ z=\infty z=∞ 变成 w = a c w=\frac{a}{c} w=ca。
4，分式线性变换的分解：分式线性变换可以分解成更简单的一些保形变换的复合。
w = a z + b c z + d = a c − a d − b c c ( c z + d ) , c ≠ 0 w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)},\qquad c\ne 0 w=cz+daz+b=ca−c(cz+d)ad−bc,c=0
w = a z + b c z + d = a d z − b d ) = r e i θ z + b d , c = 0 w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{d}z-\frac{b}{d)}=re^{i\theta}z+\frac{b}{d},\qquad c=0 w=cz+daz+b=daz−d)b=reiθz+db,c=0
从这里可以看出，分式线性变换可以是下列几种变换的复合：
（1） w = z + a w=z+a w=z+a，平移变换；
（2） w = e i θ z w=e^{i\theta}z w=eiθz，这是旋转变换，其中 θ \theta θ 是实数；
（3） w = r z w=rz w=rz，这是相似变换（拉伸），这里 r 是正实数；
（4） w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1，这称为反演变换。
关于分式线性变换，我们首先有如下的保圆性：
5，定理（分式线性变换的保圆性）：在扩充复平面上，分式线性函数将圆变成圆。
证明：（1） w = z + a w=z+a w=z+a，平移变换，将圆变成圆；
（2） w = e i θ z w=e^{i\theta}z w=eiθz，旋转变换，将圆变成圆；
（3） w = r z w=rz w=rz，这是相似变换（拉伸）。只改变圆的大小，不改变形状，还是将圆变成圆；
（4） w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1，反演变换，也将圆变成圆，我们证明如下：
我们知道圆的一般方程为 a ( x 2 + y 2 ) + b x + c y + d = 0 a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0 a(x2+y2)+bx+cy+d=0。若 a = 0 a=0 a=0
，则圆的方程变成直线，而直线是半径为无穷大的圆。
若 a ≠ 0 a\ne 0 a=0，那么 x 2 + y 2 = z ⋅ z ˉ , x = z + z ˉ 2 , y = z − z ˉ 2 i x^2+y^2=z\cdot \bar{z},\quad x=\frac{z+\bar{z}}{2},\quad y=\frac{z-\bar{z}}{2i} x2+y2=z⋅zˉ,x=2z+zˉ,y=2iz−zˉ
所以圆的方程变为
a z z ˉ + b 2 ( z + z ˉ ) + c 2 i ( a − z ˉ ) + d = 0 a z z ˉ + ( b 2 + c 2 i ) z ( z + z ˉ ) + ( b 2 − c 2 i ) z ˉ + d = 0 a z z ˉ + ( b 2 − c 2 i ) z + ( b 2 + c 2 i ) z ˉ + d = 0 a z z ˉ + β ˉ z + β z ˉ + d = 0 \begin{align*}& az\bar{z}+\frac{b}{2}(z+\bar{z})+\frac{c}{2i}(a-\bar{z})+d=0\\ &az\bar{z}+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2i}\right)z(z+\bar{z})+\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2i}\right)\bar{z}+d=0\\ &az\bar{z}+\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2}i\right)z+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}i\right)\bar{z}+d=0\\ &az\bar{z}+\bar{\beta}z+\beta\bar{z}+d=0\end{align*} azzˉ+2b(z+zˉ)+2ic(a−zˉ)+d=0azzˉ+(2b+2ic)z(z+zˉ)+(2b−2ic)zˉ+d=0azzˉ+(2b−2ci)z+(2b+2ci)zˉ+d=0azzˉ+βˉz+βzˉ+d=0
这就是圆的一般方程的复数表示。这里 β = ( b 2 + c 2 i ) \beta=\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}i\right) β=(2b+2ci)。
我们将反演变换 w = 1 z w=\frac{1}{z} w=z1
代入上式，得到
a 1 w ⋅ 1 w ˉ + β ˉ 1 w + β 1 z ˉ + d = 0 ( 同乘以 w w ˉ ) a + β ˉ ⋅ w ˉ + β w + d w w ˉ = 0 d w w ˉ + β w + β ˉ ⋅ w ˉ + a = 0 \begin{align*}&a\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{\bar{w}}+\bar{\beta}\frac{1}{w}+\beta\frac{1}{\bar{z}}+d=0\\ (\text{同乘以} w\bar{w})\quad& a+\bar{\beta}\cdot \bar{w}+\beta w+dw\bar{w}=0\\ &dw\bar{w}+\beta w+\bar{\beta}\cdot \bar{w}+a=0\end{align*} (同乘以wwˉ)aw1⋅wˉ1+βˉw1+βzˉ1+d=0a+βˉ⋅wˉ+βw+dwwˉ=0dwwˉ+βw+βˉ⋅wˉ+a=0
这仍然是一个圆的方程。所以反演变换将圆变成圆。
综合以上四种情形，我们知道，分式线性变换将圆变成圆。因为分式线性变换是由上面四种变换复合而成的。这就证明了分式线性变换的保圆性。
六、关于群
群是一个代数模式，将一种变换
群的定义
如果一个非空集合 G 上定义了一个二元运算
，满足如下性质：
（1）封闭性，即对于 ∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G ∀a,b∈G ，有 a ⋅ b ∈ G a \cdot b \in G a⋅b∈G ;
（2）结合律，即对于 ∀ a , b , c ∈ G \forall a,b,c \in G ∀a,b,c∈G，有 ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) ；
（3）存在 e ∈ G e \in G e∈G ，使得 ∀ c ∈ G \forall c \in G ∀c∈G有 e ⋅ c = c ⋅ e = c e \cdot c = c \cdot e=c e⋅c=c⋅e=c
（4）对于 ∀ a ∈ G \forall a \in G ∀a∈G ，存在 ∀ b ∈ G \forall b \in G ∀b∈G ，使得 ( a ⋅ b ) = ( b ⋅ a ) = e (a \cdot b)= (b \cdot a)=e (a⋅b)=(b⋅a)=e
，
则称 G 关于运算 ⋅ \cdot ⋅ 构成一个群（group），记为 （ G ， ⋅ ） （G，\cdot） （G，⋅）
七、莫比乌斯变换群
7.1 结合性证明
（更新中…）