目录
一、说明
本文对双曲空间的三角形进行分析，本篇首先给出，参考圆内外的点映射，进而说明三角形形状的反演映射关系。进而给出正交三角图和射影中心的概念。我i们常常提到庞加莱盘的概念，但是深入探讨的时候，发现许多常识的不足，本篇也只是一些基本常识。基本概念而已。
二、对偶三角形概念
2.1 反演关系
本文中提到的测地线是外部测地线，它们是通过相对于单位半径地平圆的边界反演内部测地线而获得的，该地平线充当反演的镜子。这可以在数学上表达为 OA 乘以 OB 等于 OT 的平方，这相当于圆的性质，即与圆相交的两条线段的乘积等于切线或其幂的平方。
在图中， r 2 = O Q 2 = O S × O P r^2=OQ^2=OS\times OP r2=OQ2=OS×OP 这可以轻易证明。
因此，在圆外的广大区域内任意点P都可以反演到圆内S点。因此，P和S构成反演关系。其中，S是P的极线MN的中点。
结论：反演将无限平面空间的任意点，变换成圆盘空间的一点，反之亦然。这是庞加莱盘的构建基础。
2.2 对偶关系
上图提起反演，我们立刻想到的是单位圆的极点和极线的关系：
参考圆：以O为圆心的圆C（可以是单位圆）。
极点：在C外的任意点P。
极线：MN是P点的对偶线，P是MN的对偶点。
2.3 找出三角形的对偶三角形
何为对偶三角形，我们这里给出一个三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3，置于基础圆盘附近，下面将一步一步说明，其对偶三角形的概念。
三角形图元：（triangle） a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3
相关三个边：（associated trilateral） L 1 L 2 L 3 ‾ \overline{L_1L_2L_3} L1L2L3
对偶三个边：（dual trilateral） A 1 A 2 A 3 ‾ \overline{A_1A_2A_3} A1A2A3
对偶三角形：（dual triangle） l 1 l 2 l 3 ‾ \overline{l_1l_2l_3} l1l2l3
如图所示：其中：
a 1 a 2 ‾ = L 3 \overline{a_1a_2}=L_3 a1a2=L3,
a 1 a 3 ‾ = L 2 \overline{a_1a_3}=L_2 a1a3=L2,
a 2 a 3 ‾ = L 1 \overline{a_2a_3}=L_1 a2a3=L1
以上标注了三条边。
做 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的对偶极线：构成对偶三个边：（dual trilateral）
A 1 A 2 A 3 ‾ \overline{A_1A_2A_3} A1A2A3
通过对偶边，获得对偶顶点，构成对偶三角形
A 1 A 2 ‾ = l 3 \overline{A_1A_2}=l_3 A1A2=l3
A 2 A 3 ‾ = l 1 \overline{A_2A_3}=l_1 A2A3=l1
A 1 A 3 ‾ = l 2 \overline{A_1A_3}=l_2 A1A3=l2
至此，对偶三角形被画出。
一句话，三角形顶点的极线构成对偶三角形。
三、正交三角形概念
3.1 通过对偶三角形，找到垂心
在图2中，找到三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的对偶三角形 l 1 l 2 l 3 ‾ \overline{l_1l_2l_3} l1l2l3
我们在图2的基础上，连接 a 1 l 1 ‾ \overline{a_1l_1} a1l1, a 2 l 2 ‾ \overline{a_2l_2} a2l2， a 3 l 3 ‾ \overline{a_3l_3} a3l3，此三条线交于h点，h点叫做三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的垂心。
3.2 正交三角形的概念
我们在图2的基础上，连接 a 1 l 1 ‾ \overline{a_1l_1} a1l1, a 2 l 2 ‾ \overline{a_2l_2} a2l2， a 3 l 3 ‾ \overline{a_3l_3} a3l3，此三条线是三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的垂线，分别交 L 1 L_1 L1于 b 1 b_1 b1，交 L 2 L_2 L2于 b 2 b_2 b2，交 L 3 L_3 L3于 b 3 b_3 b3，其中 b 1 b 2 b 3 ‾ \overline{b_1b_2b_3} b1b2b3构成正交三角形。
3.3 中心射影点的概念
因为上图太过稠密，这里更换一个图形继续说明。
由于我们找到了正交三角形 b 1 b 2 b 3 ‾ \overline{b_1b_2b_3} b1b2b3，我们进一步，做出 b 1 b 2 b 3 ‾ \overline{b_1b_2b_3} b1b2b3的对偶三角形， c 1 c 2 c 3 ‾ \overline{c_1c_2c_3} c1c2c3，做法与上述相同，（做时要注意下标对应！）
连接 a 1 c 1 ‾ \overline{a_1c_1} a1c1、 a 2 c 2 ‾ \overline{a_2c_2} a2c2、 a 3 c 3 ‾ \overline{a_3c_3} a3c3，此三条线交于一点b，b就是三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3的射影中心，从这一点发射的射线，将三角形 a 1 a 2 a 3 ‾ \overline{a_1a_2a_3} a1a2a3映射成三角形 c 1 c 2 c 3 ‾ \overline{c_1c_2c_3} c1c2c3，在空间中用锥体更加直观。
四、后记
对于几何图形在双曲空间的映射，这只是一个开端，进一步说，其他图元如何映射？如何编程？这些将是我们逐步考察的内容，敬请关注，谢谢！