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重积分
1 曲顶柱体的体积
一、实例
平 面 区 域 直 径 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{平面区域直径'}}} 平面区域直径′ ：区域 σ \sigma σ上任意两端距离最大值。
二、二重积分的定义
设函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)是定义在平面可求有界闭区域 D D D上的有界函数，如果
lim λ → 0 ∑ i n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \lim_{\lambda \to 0}\sum_i^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i λ→0limi∑nf(ξi,ηi)Δσi
存在（则称 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在 D D D上可积），极限值为 I I I，且 I I I的值与对 D D D的分法无关，也与 N i ( ξ i , η i ) N_i(\xi_i, \eta_i) Ni(ξi,ηi)在 σ i \sigma_i σi上的取法无关，则称 I I I为 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在有界闭区域 D D D上的二重积分。记为
∬ D f ( x , y ) d σ \iint_{D} f(x, y)d\sigma ∬Df(x,y)dσ
。其中 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)称为被积函数， D D D称为积分区域， d σ d\sigma dσ称为面积元素， f ( x , y ) d σ f(x, y)d\sigma f(x,y)dσ称为被积表达式。
三、二重积分的性质
中 值 定 理 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{中值定理'}}} 中值定理′ ：设 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在有界闭区域 D D D上连续， S S S表示 D D D的面积，则至少存在一点 ( ξ , η ) ∈ D (\xi, \eta) \in D (ξ,η)∈D 使得 ∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) S \iint_D f(x, y)d\sigma = f(\xi, \eta)S ∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)S。
2 二重积分的计算
一、在直角坐标系下
简 单 区 域 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{简单区域'}}} 简单区域′ ：平行于 x x x轴或 y y y轴的直线与区域 D D D的边界的交点不多于两个。
X 型 区 域 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{X型区域'}}} X型区域′ ：与 y y y轴平行的直线与 D D D的边界交点不多于两个。 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y \iint_D f(x,y)d\sigma = \int_a^b dx \int_c^d f(x, y)dy ∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫cdf(x,y)dy
Y 型 区 域 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{Y型区域'}}} Y型区域′ ：与 x x x轴平行的直线与 D D D的边界交点不多于两个。 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x \iint_D f(x,y)d\sigma = \int_c^d dy \int_a^b f(x, y)dx ∬Df(x,y)dσ=∫cddy∫abf(x,y)dx
若区域 D D D是简单区域，则将积分化成两次单积分进行求解；若区域 D D D不是简单区域，利用平行于 y y y轴或 x x x轴的直线把 D D D分为若干个简单区域 D 1 , D 2 , ⋯ , D n D_1, D_2, \cdots, D_n D1,D2,⋯,Dn再分别求解，最后相加。
二重积分 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint_D f(x, y)d\sigma = \iint_D f(x, y)dxdy ∬Df(x,y)dσ=∬Df(x,y)dxdy
二、在极坐标系下
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二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式：
假设有界闭区域 D D D满足：从极点出发的半直线与 D D D的边界的交点不多于两个。
∬ D f ( x , y ) d σ = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i , y i ) Δ σ i = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ρ i cos θ i , ρ i sin θ i ) ρ i Δ ρ i Δ θ i = ∬ D f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ d θ \iint_D f(x, y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i, y_i)\Delta \sigma_i \\ = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\rho_i\cos\theta_i, \rho_i\sin\theta_i)\rho_i \Delta\rho_i\Delta\theta_i \\ = \iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta ∬Df(x,y)dσ=limλ→0∑i=1nf(xi,yi)Δσi=limλ→0∑i=1nf(ρicosθi,ρisinθi)ρiΔρiΔθi=∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ
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极坐标系下的累次积分
假设有界闭区域 D D D满足：从极点出发的半直线与 D D D的边界的交点不多于两个。
（1）极点 O O O在积分区域外部
D = { ( ρ , θ ) ∣ ρ 1 ( θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 ( θ ) , α ≤ θ ≤ β } D = \{(\rho, \theta) | \rho_1(\theta) \le \rho \le \rho_2(\theta), \alpha \le \theta \le \beta\} D={(ρ,θ)∣ρ1(θ)≤ρ≤ρ2(θ),α≤θ≤β}
∬ D f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ d θ = ∫ α β d θ ∫ ρ 1 ( θ ) ρ 2 ( θ ) f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ \iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho ∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫αβdθ∫ρ1(θ)ρ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
（2）极点 O O O在积分区域边界上
D = { ( ρ , θ ) ∣ 0 ≤ ρ ≤ ρ ( θ ) , α ≤ θ ≤ β } D = \{(\rho, \theta) | 0 \le \rho \le \rho(\theta), \alpha \le \theta \le \beta\} D={(ρ,θ)∣0≤ρ≤ρ(θ),α≤θ≤β}
∬ D f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ d θ = ∫ α β d θ ∫ 0 ρ ( θ ) f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ \iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_\alpha^\beta d\theta \int_0^{\rho(\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho ∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫αβdθ∫0ρ(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
（3）极点 O O O在积分区域内部
D = { ( ρ , θ ) ∣ 0 ≤ ρ ≤ ρ ( θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2 π } D = \{(\rho, \theta) | 0 \le \rho \le \rho(\theta), 0 \le \theta \le 2\pi\} D={(ρ,θ)∣0≤ρ≤ρ(θ),0≤θ≤2π}
∬ D f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ρ ( θ ) f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ \iint_D f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\rho(\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\rho d\rho ∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫02πdθ∫0ρ(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
例：计算 ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx ∫0+∞e−x2dx。
构造两个圆域和一个矩形域，分别记为 D 1 , D 2 , S D_1, D_2, S D1,D2,S，利用夹逼准则，求出极限为 π 2 \frac{\sqrt{\pi}}{2} 2π 。
∬ S e − x 2 − y 2 d x d y = ∫ 0 R e − x 2 d x ∫ 0 R e − y 2 d y = ( ∫ 0 R e − x 2 d x ) 2 \iint_S e^{-x^2-y^2}dxdy = \int_0^R e^{-x^2}dx \int_0^R e^{-y^2}dy = (\int_0^R e^{-x^2}dx)^2 ∬Se−x2−y2dxdy=∫0Re−x2dx∫0Re−y2dy=(∫0Re−x2dx)2
3 三重积分
仿照二重积分的定义，把面积元素换成体积元素即可定义三重积分。记为 ∭ Ω f ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega} f(x, y, z)dv ∭Ωf(x,y,z)dv。
4 三重积分的计算
一、直角坐标系下
设平行于 z z z轴的直线穿过 Ω \Omega Ω时与 Ω \Omega Ω的边界曲面交点不多于两个。
把 f ( x , y , z ) f(x, y, z) f(x,y,z)中的 x , y x, y x,y看作常数，对 z z z在 [ z 1 ( x , y ) , z 2 ( x , y ) ] [z_1(x, y), z_2(x, y)] [z1(x,y),z2(x,y)]（z_1(x, y), z_2(x, y)分别为区域 Ω \Omega Ω的上下曲面方程）上作积分，得 ϕ ( x , y ) = ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z \phi(x, y) = \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}f(x, y, z)dz ϕ(x,y)=∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz。设 ϕ ( x , y ) \phi(x, y) ϕ(x,y)在 D D D上可积，则：
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ D ϕ ( x , y ) d x d y = ∬ D [ ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z ] d x d y \iiint_{\Omega} f(x, y, z) dx dy dz = \iint_D \phi(x, y)dx dy = \iint_D [\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)}f(x, y, z)dz]dx dy ∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∬Dϕ(x,y)dxdy=∬D[∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dxdy。其中 D D D是区域 Ω \Omega Ω沿着平行于 z z z轴方向的投影得到的区域。
类似地，可以沿着其他坐标轴进行投影。
思想：先对其中一个轴进行积分，将其他两个变量当作 常 数 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{常数'}}} 常数′ 。
方法二： ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ c 1 c 2 d z ∬ D f ( x , y , z ) d x d y \iiint_\Omega f(x, y, z) dx dy dz = \int_{c_1}^{c_2}dz \iint_D f(x, y, z)dx dy ∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∫c1c2dz∬Df(x,y,z)dxdy。
二、在柱面坐标系下
柱 面 坐 标 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{柱面坐标'}}} 柱面坐标′ ：在直角坐标系下点 M ( x , y , z ) M(x, y, z) M(x,y,z)，在 x o y xoy xoy面上以原点 O O O为极点， x x x轴为极轴，建立极坐标系，再以 z z z轴为数轴，构成了一个柱面坐标系。表示形式为 P ( ρ , θ , z ) P(\rho, \theta, z) P(ρ,θ,z)。
柱 面 坐 标 与 直 角 坐 标 的 关 系 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{柱面坐标与直角坐标的关系'}}} 柱面坐标与直角坐标的关系′ ： x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , z = z x = \rho \cos \theta, y = \rho \sin \theta, z = z x=ρcosθ,y=ρsinθ,z=z。
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Ω f ( ρ cos θ , ρ sin θ , z ) ρ d ρ d θ d z \iiint_\Omega f(x, y, z)dx dy dz = \iiint_\Omega f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z)\rho d\rho d\theta dz ∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ωf(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz
三、在球面坐标系下
球 面 坐 标 ′ \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{球面坐标'}}} 球面坐标′ ：设空间一点 M M M在直角坐标下的坐标为 M ( x , y , z ) M(x, y, z) M(x,y,z)。
x = r sin ϕ cos θ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos ϕ x = r\sin\phi\cos\theta, y = r\sin\phi\sin\theta, z = r\cos\phi x=rsinϕcosθ,y=rsinϕsinθ,z=rcosϕ。
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Ω f ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ \iiint_\Omega f(x, y, z)dx dy dz = \iiint_\Omega f(r\sin\phi\cos\theta, r\sin\phi\sin\theta, r\cos\phi)r^2 \sin\phi dr d\phi d\theta ∭Ωf(x,y,z)dxdydz=∭Ωf(rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosϕ)r2sinϕdrdϕdθ
V = ∭ Ω 1 d x d y d z = ∫ a b d θ ∫ c d d ϕ ∫ e f r 2 sin ϕ d r V = \iiint_\Omega 1 dx dy dz = \int_a^b d\theta \int_c^d d\phi \int_e^f r^2\sin\phi dr V=∭Ω1dxdydz=∫abdθ∫cddϕ∫efr2sinϕdr
5 重积分的应用
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曲面的面积
设曲面 Σ : z = f ( x , y ) \Sigma: z = f(x, y) Σ:z=f(x,y)， Σ \Sigma Σ在 x o y xoy xoy面上投影区域为 D D D， f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)在 D D D上有连续的偏导数 f x ′ ( x , y ) , f y ′ ( x , y ) f_x^\prime(x, y), f_y^\prime(x, y) fx′(x,y),fy′(x,y)，用切平面的面积近似代替小曲面的面积。
d A dA dA与 d σ d\sigma dσ有如下关系： d σ = d A ⋅ ∣ cos γ ∣ d\sigma = dA \cdot |\cos\gamma| dσ=dA⋅∣cosγ∣其中 γ \gamma γ是曲面在点 M M M的法线与 z z z轴正向的夹角。所以 d A = 1 ∣ cos γ ∣ d σ dA = \frac{1}{|\cos\gamma|}d\sigma dA=∣cosγ∣1dσ。其中 ∣ cos γ ∣ = 1 1 + f x ′ 2 + f y ′ 2 |\cos\gamma| = \frac{1}{\sqrt{1+{f_x^\prime}^2+{f_y^\prime}^2}} ∣cosγ∣=1+fx′2+fy′2 1，因此 d A = 1 ∣ cos γ ∣ d σ = 1 + f x ′ 2 + f y ′ 2 d σ dA = \frac{1}{|\cos\gamma|}d\sigma = \sqrt{1+{f_x^\prime}^2+{f_y^\prime}^2}d\sigma dA=∣cosγ∣1dσ=1+fx′2+fy′2 dσ。所以曲面的面积 S = ∬ D 1 + f x ′ 2 + f y ′ 2 d σ S = \iint_D \sqrt{1+{f_x^\prime}^2+{f_y^\prime}^2} d\sigma S=∬D1+fx′2+fy′2 dσ