参考
- b站视频 【决策树、随机森林】附源码！！超级简单，同济大佬手把手带你学决策树
- 决策树模型及案例（Python）
- 决策树之基尼系数 该文章的公式理解可能不对，但提供了思路。
- 【概率论】1-4:事件的的并集(Union of Events and Statical Swindles) 并集的概率
决策树指标
决策树有多种可选的形态，那么如何确定哪种决策树是更好的呢？有两种指标可以使用：
- 基尼系数
- 信息熵、信息增益
基尼系数
基础公式
基尼系数是一种评估决策树好坏的指标。他反映了决策树对样本分类的离散情况。假设样本集合为T，分为了若干个类别，每个类别在样本集合T中占的比例为 p i p_i pi。它的计算公式如下：
gini ( T ) = 1 − ∑ p i 2 \operatorname{gini}(T)=1-\sum p_{i}^{2} gini(T)=1−∑pi2
举个例子，假设某个员工的样本集合里都是离职员工，所以该集合只有"离职员工"一个类别，其出现的频率是100%。所以该系统的基尼系数为 1 − 1 2 ＝ 0 1-1^2＝0 1−12＝0，表示该系统没有混乱，或者说该系统的“纯度”很高。而如果样本中一半是离职员工，另一半是未离职员工，那么类别个数为2，每个类别出现的频率都为50%，所以其基尼系数为 1 − （ 0. 5 2 ＋ 0. 5 2 ） ＝ 0.5 1-（0.5^2＋0.5^2）＝0.5 1−（0.52＋0.52）＝0.5，其混乱程度很高。
公式理解
如何理解这个公式的含义？我们举个例子，假设有个贷款人员的样本集合，有贷款人员是否违约的二分类问题，1表示违约，0表示不违约。现在问：任取两个样本，它们属于同一类别的概率是多少？两个样本同属第一个类别的概率为 P 1 = p 1 2 P_1=p_1^2 P1=p12，同属第二个类别的概率为 P 2 = p 2 2 P_2=p_2^2 P2=p22。所以，两个样本同属一个类别的概率如下：
P r ( P 1 ∪ P 2 ) = P r ( P 1 ) + P r ( P 2 ) − P r ( P 1 ∩ P 2 ) = P r ( P 1 ) + P r ( P 2 ) 两个样本不可能同时都属于多个类别 = p 1 2 + p 2 2 \begin{aligned} Pr(P_1 \cup P_2)&=Pr(P_1)+Pr(P_2)-Pr(P_1 \cap P_2) \\ &=Pr(P_1)+Pr(P_2) \qquad \text{两个样本不可能同时都属于多个类别} \\ &=p_1^2+p_2^2 \end{aligned} Pr(P1∪P2)=Pr(P1)+Pr(P2)−Pr(P1∩P2)=Pr(P1)+Pr(P2)两个样本不可能同时都属于多个类别=p12+p22
所以，两个样本不属于同一类别的概率为 1 − P r ( P 1 ∪ P 2 ) = 1 − p 1 2 − p 2 2 = g i n i ( T ) 1-Pr(P_1 \cup P_2)=1-p_1^2-p_2^2=gini(T) 1−Pr(P1∪P2)=1−p12−p22=gini(T)。在二分类问题中，基尼系数的含义就是随机采样的两个样本不属于同一类别的概率。
该说法在多分类问题中一样成立。参考【概率论】1-4:事件的的并集(Union of Events and Statical Swindles)给出的公式：
图中的并集元素项都等于0，所以任取两个样本，都属于同一类别的概率为 Pr ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∑ i = 1 n Pr ( A i ) = ∑ i = 1 n p i 2 \operatorname{Pr}\left(\bigcup_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{A}_{\mathrm{i}}\right)=\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \operatorname{Pr}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{i}}\right)=\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}p_i^2 Pr(⋃i=1nAi)=∑i=1nPr(Ai)=∑i=1npi2。所以任取两个样本，不属于同一类别的概率为 1 − ∑ i = 1 n p i 2 1-\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}p_i^2 1−∑i=1npi2，该说法得证。在多分类问题中，基尼系数的含义也是同样的。
引入划分后的公式
当引入某个用于划分样本空间的条件（如“满意度＜5”）时，分类后的基尼系数公式如下，其中S1、S2为划分后的两类各自的样本量， g i n i ( T 1 ) gini(T_1) gini(T1)、 g i n i ( T 2 ) gini(T_2) gini(T2)为两类各自的基尼系数。
gini ( T ) = S 1 S 1 + S 2 gini ( T 1 ) + S 2 S 1 + S 2 gini ( T 2 ) \operatorname{gini}(T)=\frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}} \operatorname{gini}\left(T_{1}\right)+\frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}} \operatorname{gini}\left(T_{2}\right) gini(T)=S1+S2S1gini(T1)+S1+S2S2gini(T2)
举个例子，一个初始样本中有1000个员工，其中已知有400人离职，600人不离职，划分前该系统的基尼系数为 1 − （ 0. 4 2 ＋ 0. 6 2 ） ＝ 0.48 1-（0.4^2＋0.6^2）＝0.48 1−（0.42＋0.62）＝0.48。
下面采用两种方式决定根节点：一是根据“满意度＜5”进行分类；二是根据“收入＜10000元”进行分类。
划分方式1：以“满意度＜5”为根节点进行划分，如下图所示，1000个员工中，200个人是满意度<5的，另外有800个人满意度>=5。计算过程如下。
- T1的基尼系数： g i n i ( T 1 ) ＝ 1 − （ 1 2 ＋ 0 2 ） ＝ 0 gini(T_1)＝1-（1^2＋0^2）＝0 gini(T1)＝1−（12＋02）＝0
- T2的基尼系数： g i n i ( T 2 ) ＝ 1 − （ 0.2 5 2 ＋ 0.7 5 2 ） ＝ 0.375 gini(T_2)＝1-（0.25^2＋0.75^2）＝0.375 gini(T2)＝1−（0.252＋0.752）＝0.375
- 综上，划分后的基尼系数就是
gini ( T ) = 200 1000 × 0 + 800 1000 × 0.375 = 0.3 \begin{aligned} \operatorname{gini}(T)&= \frac{200}{1000} \times 0+ \frac{800}{1000} \times 0.375= 0.3 \end{aligned} gini(T)=1000200×0+1000800×0.375=0.3
划分方式2：以“收入＜10000元”为根节点进行划分，如下图所示，1000个员工中，有400个人收入小于10000元，另外600人收入>=10000元计算过程如下。
T1的基尼系数： g i n i （ T 1 ） ＝ 1 − （ 0.2 5 2 ＋ 0.7 5 2 ） ＝ 0.375 gini（T1）＝1-（0.25^2＋0.75^2）＝0.375 gini（T1）＝1−（0.252＋0.752）＝0.375
T2的基尼系数： g i n i （ T 2 ） ＝ 1 − （ 0. 5 2 ＋ 0. 5 2 ） ＝ 0.5 gini（T2）＝1-（0.5^2＋0.5^2）＝0.5 gini（T2）＝1−（0.52＋0.52）＝0.5
- 综上，划分后的基尼系数就是
gini ( T ) = 400 1000 × 0.375 + 600 1000 × 0.5 = 0.45 \begin{aligned} \operatorname{gini}(T)&= \frac{400}{1000} \times 0.375+ \frac{600}{1000} \times 0.5= 0.45 \end{aligned} gini(T)=1000400×0.375+1000600×0.5=0.45
可以看到，划分前的基尼系数为0.48，以“满意度＜5”为根节点进行划分后的基尼系数为0.3，而以“收入＜10000元”为根节点进行划分后的基尼系数为0.45。基尼系数越低表示系统的混乱程度越低（纯度越高），区分度越高，越适合用于分类预测，因此这里选择“满意度＜5”作为根节点。
划分后公式的理解
如何理解划分后的基尼系数公式？在划分前，样本空间是全集。划分将决策树的分为了若干个树节点，每个树节点相当于一个样本空间子集。所以公式中将各个划分样本计算基尼系数后，按权重相加的方式，相当于计算每个划分样本空间基尼系数的加权和。
信息熵、信息增益
这里建议阅读原文决策树模型及案例（Python），对某个样本空间X计算信息熵的公式为：
H ( X ) = − ∑ p i log 2 ( p i ) ( i = 1 , 2 … … n ) H(X)=-\sum p_{i} \log _{2}\left(p_{i}\right) \quad\left(i=1,2 \ldots \ldots{ }{\text n}\right) H(X)=−∑pilog2(pi)(i=1,2……n)
进行某种变量A划分后(比如“满意度＜5”)，信息熵的计算公式如下。则根据变量A划分后的信息熵又称为条件熵。
H A ( X ) = S 1 S 1 + S 2 H ( X 1 ) + S 2 S 1 + S 2 H ( X 2 ) H_{A}(X)=\frac{S_{1}}{S_{1}+S_{2}} H\left(X_{1}\right)+\frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}} H\left(X_{2}\right) HA(X)=S1+S2S1H(X1)+S1+S2S2H(X2)
什么是信息增益？为了衡量不同划分方式降低信息熵的效果，还需要计算分类后信息熵的减少值（原系统的信息熵与分类后系统的信息熵之差），该减少值称为熵增益或信息增益，其值越大，说明分类后的系统混乱程度越低，即分类越准确。
假设某样本的初始信息熵为 H ( X ) = 0.97 H(X)=0.97 H(X)=0.97，按照某划分后，信息熵为 H A ( X ) = 0.65 H_A(X)=0.65 HA(X)=0.65，那么信息增益为0.97-0.65=0.32.
如何理解信息熵
两种指标的对比
基尼系数涉及平方运算，而信息熵涉及相对复杂的对数函数运算，因此，目前决策树模型默认使用基尼系数作为建树依据，运算速度会较快。