【花书笔记|PyTorch版】手动学深度学习7：模型选择、欠拟合和过拟合

2022.11.10

4.4 模型选择、欠拟合和过拟合

4.4.1. 训练误差和泛化误差

• 训练误差（training error）是指， 模型在训练数据集上计算得到的误差。
• 泛化误差（generalization error）是指， 模型应用在同样从原始样本的分布中抽取的无限多数据样本时，模型误差的期望。

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/561167184

4.4.2. 模型选择

就是设计模型结构、训练集、测试集等等

• 欠拟合：就是训练不到位，训练误差较大
• 过拟合：就是训练的太多了，过分同训练数据一致，那么整体泛化能力就差了，也就是在测试集预测的反而误差比较大，也就是泛化误差比较大。

4.4.3 训练数据集大小

• 通常，如果训练数据集中样本过少，特别是比模型参数数量更少时，如意发生过拟合。

• 如果数据量小的，可以用K折交叉验证;数据量足够就不需要

  原始训练数据被分成个K不重叠的子集。 然后执行K次模型训练和验证，每次在K-1个子集上进行训练， 并在剩余的一个子集（在该轮中没有用于训练的子集）上进行验证。 最后，通过对K次实验的结果取平均来估计训练和验证误差

4.4.4 多项式回归

就是用多项式 ，来描绘出 过拟合和欠拟合图像

y = 5 + 1.2 x − 3.4 x 2 2 ! + 5.6 x 3 3 ! + ϵ   w h e r e   ϵ ∽ N ( 0 , 0. 1 2 ) y=5+1.2x-3.4\frac{x^2}{2!}+5.6\frac{x^3}{3!}+\epsilon \ where \ \epsilon \backsim N(0,0.1^2) y=5+1.2x−3.42!x2​+5.63!x3​+ϵ where ϵ∽N(0,0.12)

• ϵ是噪声，服从均值为0，标准差为0.1的正态分布

【1、引入包】

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

【2、设置阶数、训练测试集的大小、初始化w】

# 多项式的最大阶数 确定w向量的维度（1，20）
max_degree = 20
# 训练和测试数据集大小
n_train, n_test = 100, 100  
# 分配大量的空间 np.zeros是创建为0的向量 
true_w = np.zeros(max_degree)  
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

设置参数w,前四项如式子，后面为0

【3、生成相应特征】
poly_features记录不同阶数的x

# 生成（200,1）的特征
features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
# 将生成的特征打乱
np.random.shuffle(features)

正态分布随机抽:
https://blog.csdn.net/wzy628810/article/details/103807829

# poly_features 生成（200，20）的向量
# np.arange(max_degree).reshape(1, -1)表示x的次数
# poly_features存放的是features经过次方的数据
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))

• np.arange(max_degree).reshape(1, -1) 变成 二维了

• 在pow（）看不出来有什么作用

• 【】
  features 是生成的（200,1）的数据，相当如输入的X
  poly_features是记录不同阶数的x。它是200个数据（200,1）和指数1,2，…20 power后，（200，20）。
  每一排是一个数据，0次到19次的值；一共200

【4、生成真实labels】

# math.gamma()表示的是伽玛函数
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!

实现的就是 x n ( n − 1 ) ! \frac{x^n}{(n-1)!} (n−1)!xn​

# np.dot表示矩阵的乘法 poly_features（200，20）true_w（1，20）
labels = np.dot(poly_features, true_w) 
# 参数scale表示正态分布的标准差,这里相当于来个一个bias
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

labels实现的式子前半部分
np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape) 是噪音ϵ
加到一起，

【5、获取相应数据】

# NumPy ndarray转换为tensor
# 用了for 一一对应的转换
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

# 查看了一下数据
features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

• 都已经转换成了tensor
• 一个数据20阶，这里有两个数据，计算出来两个y

【6、定义损失函数】

 def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    # d2l.Accumulator(2)创建两个单位，存放总loss和单位数量
    # 损失的总和,样本数量
    metric = d2l.Accumulator(2)  
    # 传入数据data_iter
    for X, y in data_iter:
        # out为预测y的值
        out = net(X)
        # y是真实的y的值
        y = y.reshape(out.shape)
        # 根据定义的loss函数计算损失
        l = loss(out, y)
        # l.sum()总损失 l.numel()相等于总共l的数量
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

【7 训练模型】

# 传入训练特征，测试特征，训练标签，测试标签，迭代次数
# 最重要的部分
def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    # 定义loss为nn.MSELoss(reduction='none') 即均方损失函数
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    # 输入的形状为train.features的列数
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它
    # nn.Linear表示定义为线性模型
    # 表示一个形状（input_shape,1）
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    # 选择小批量大小
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    # d2l.load_array传入相应的数据
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    # 选择SGD小批量梯度优化器去更新w和b
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    # d2l.Animator动画显示训练和验证集损失情况
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    # 依次迭代训练，num_epochs=400
    for epoch in range(num_epochs):
        # d2l.train_epoch_ch3表示迭代一次
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        # 每迭代20次画一个图
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    # 默认w的输出方式
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

【8 结果】

• 取4个维度训练 相对正常的结果

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
# n_train为100，一半测试集一半训练集
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

• 取2个维度训练 相对正常的结果

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

欠拟合了，模型太简单了，训练的不够

• 取所有维度进行训练

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

过拟合了，在300左右已经降到最低了，本来系数应该都是0的，因为模型过度复杂，噪音也放大了，反而让test训练误差有点增多的意思