泊松积分、伽马函数——公式干货总结

文章目录

• • 泊松积分
  • 伽马函数
  • 常用公式表

泊松积分

最常用的两个：

∫ − ∞ ∞ e − t 2 d t = π \int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi} ∫−∞∞​e−t2dt=π ​

∫ 0 ∞ e − t 2 d t = π 2 \int_{0}^{\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2} ∫0∞​e−t2dt=2π ​​

伽马函数

基本结论

Γ ( 1 ) = 1 ， Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(1)=1，\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(1)=1，Γ(21​)=π ​

性质

Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha) Γ(α+1)=αΓ(α)

如： Γ ( 3 ) = Γ ( 2 + 1 ) = 2 Γ ( 2 ) = 2 ⋅ 1 ! = 2 \Gamma{(3)}=\Gamma(2+1)=2\Gamma{(2)}=2·1!=2 Γ(3)=Γ(2+1)=2Γ(2)=2⋅1!=2

Γ ( 3 2 ) = Γ ( 1 2 + 1 ) = 1 2 Γ ( 1 2 ) = π 2 \Gamma(\frac{3}{2})=\Gamma(\frac{1}{2}+1)=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2} Γ(23​)=Γ(21​+1)=21​Γ(21​)=2π ​​

两种形式

1. Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ x n e − x d x = n ! \Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x}dx=n! Γ(n+1)=∫0∞​xne−xdx=n!

或 Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x = ( α − 1 ) ! \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx=(\alpha-1)! Γ(α)=∫0∞​xα−1e−xdx=(α−1)!

如： Γ ( 3 ) = Γ ( 2 + 1 ) = 2 ! = 2 \Gamma{(3)}=\Gamma(2+1)=2!=2 Γ(3)=Γ(2+1)=2!=2

1. 令 x = t 2 x=t^2 x=t2有第二种形式：

Γ ( α ) = 2 ∫ 0 ∞ t 2 α − 1 e − t 2 d t \Gamma(\alpha)=2\int_{0}^{\infty}t^{2\alpha-1}e^{-t^2}dt Γ(α)=2∫0∞​t2α−1e−t2dt

如： 2 ∫ 0 ∞ t 4 e − t 2 d t = 2 ∫ 0 ∞ t 2 ⋅ 5 2 − 1 e − t 2 d t = Γ ( 5 2 ) = Γ ( 3 2 + 1 ) = 3 2 ⋅ 1 2 ⋅ Γ ( 1 2 ) = 3 π 4 2\int_{0}^{\infty}t^{4}e^{-t^2}dt=2\int_{0}^{\infty}t^{2·\frac{5}{2}-1}e^{-t^2}dt=\Gamma{(\frac{5}{2})}=\Gamma(\frac{3}{2}+1)=\frac{3}{2}·\frac{1}{2}·\Gamma{(\frac{1}{2})}=\frac{3\sqrt{\pi}}{4} 2∫0∞​t4e−t2dt=2∫0∞​t2⋅25​−1e−t2dt=Γ(25​)=Γ(23​+1)=23​⋅21​⋅Γ(21​)=43π ​​

常用公式表