团饱和图：（一）EHM定理
据A. Hajnal考证，术语“饱和性”，即saturation，最早由前苏联数学家A. A. Zykov在1949年引入，用于研究线性复形，但是他的工作并没有引起图论学家的足够关注．1961年，P. Erdos和T. Gallai在研究顶点覆盖问题时提出了一个猜想，而这个猜想事实上使用了图饱和数的概念（但并没有使用该术语），这个猜想在1964年被P. Erdos，A. Hajnal和J. W. Moon证明，我们称为EHM定理．随后在1965年，A. Hajnal借鉴了Zykov使用的术语“饱和性”，定义了图的饱和性．其相关概念如下．
设\(F\)和\(G\)是两个简单图，并且\(v(F)\le v(G)\)．如果\(G\)不包含同构于\(F\)的子图，那么则称\(G\)是\(F\)-自由的．如果\(G\)是\(F\)-自由的，但对任意\(e\not\in E(G)\)，\(G+e\)总是包含\(F\)的一个拷贝，则称\(G\)是\(F\)-饱和的．\(F\)-饱和的\(n\)阶简单图的最少边数称为\(F\)关于\(n\)的饱和数，记作\(sat(n,F)\)．所有\(F\)-饱和的、顶点数为\(n\)、边数为\(sat(n,F)\)的简单图的集合记作\(Sat(n,F)\)．
设\(G\)是\(F\)-自由的．
- 那么，我们总是默认\(v(F)\le v(G)\)且\(v(F)\ge2\)．
- 当\(v(F)=2\)时，\(G\)是平凡的．一般我们考虑\(v(F)\ge3\)的情况．
本节研究\(F=K_s\)的情况，也就是\(K_s\)-饱和图，这种图也称为团饱和图．团饱和图有一些很显然的特性，我们总结为如下引理．
引理 1.1 设\(n\)阶图\(G\)是\(K_s\)-饱和的且\(s\ge3\)．那么，
- \(\delta(G)\ge s-2\)．
- 对任意\(v\in V(G)\)，\(N(v)\)中存在至少一个\((s-2)\)-团．
- 对任意\(v\in V(G)\)，\(V(G)\)可以剖分为三个部分：\(\{v\}\cup N(v)\cup N_2(v)\)．
- 对任意\(v\in V(G)\)，\(u\in N_2(v)\)，\(N(v)\cap N(u)\)包含一个\((s-2)\)-团．\(\blacksquare\)
实际上，Erdos和Gallai在1961年提出的猜想正是关于团饱和图．这个猜想在1964年被P. Erdos，A. Hajnal和J. W. Moon证明了，我们不妨称之为EHM定理．
定理 1.2（EHM定理） 令\(2\le s\le n\)，那么
- \(sat(n,K_s)=(s-2)n-\binom{s-1}{2}\)；
- \(Sat(n,K_s)=\{K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}\}\)．
证明 (1) 当\(s=n\)时，显然有\(sat(n,K_n)=\binom{n}{2}-1=(n-2)n-\binom{n-1}{2}\)．以下不妨设\(s<n\)．设\(G\)是一个最小的\(n\)阶\(K_s\)-饱和图．那么存在\(u,v\in V(G)\)，使得\(uv\not\in E(G)\)，并且存在一个既与\(u\)相邻也与\(v\)相邻的\((s-2)\)-团．令\(G'=G/\{u,v\}\)，则\(G'\)是\((n-1)\)阶\(K_s\)-饱和图，所以\(e(G')\ge sat(n-1,K_s)\)，所以\(sat(n,K_s)=e(G)\ge e(G')+(s-2)\ge sat(n-1,K_s)+(s-2)\)．
将之累加可得：
\[sat(n,K_s)\ge sat(s,K_s)+(n-s)(s-2)\\
=\binom{s}{2}-1+(n-s)(s-2)\\
=(s-2)n-\binom{s-1}{2}.\]
另一方面，\(K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}\)恰是一个边数为\((s-2)n-\binom{s-1}{2}\)的\(n\)阶\(K_s\)-饱和图，所以\[sat(n,K_s)=(s-2)n-\binom{s-1}{2}.\]
(2) 设\(G\)是一个边数为\((s-2)n-\binom{s-1}{2}\)的\(n\)阶\(K_s\)-饱和图，以下只需证明\(G\cong K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}\)．由于\(s=2\)时结论显然成立，以下不妨设\(s\ge 3\)．
对\(n\)作归纳．当\(n=s\)时，结论显然成立．假定\(n\)较小时结论成立，现在考虑\(n\)的情况．因为\(G\)是一个\(n\)阶\(K_s\)-饱和图，所以存在\(u,v\in V(G)\)，使得\(uv\not\in E(G)\)，并且存在一个既与\(u\)相邻也与\(v\)相邻的\((s-2)\)-团．令\(G'=G/\{u,v\}\)，则\(G'\)是\((n-1)\)阶\(K_s\)-饱和图，且\[e(G')=e(G)-(s-2)=(s-2)(n-1)-\binom{s-1}{2}.\]
由归纳假设知，\(G'\cong K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+1}}\)，所以有\(G\cong K_{s-2}\vee\overline{K_{n-s+2}}\)．\(\blacksquare\)
EHM定理的结论虽然很漂亮，但是也有一个缺憾：我们只是知道边数最少的\(K_s\)-饱和图是什么样子，但是不知道普通的\(K_s\)-饱和图是什么样．后面几节我们就来讨论普通的\(K_s\)-饱和图具有什么结构．