[HDU3240]Counting Binary Trees(不互质同余除法)

题意：求Catalan数的前n项和。

直接递推公式就好了，但是有一个问题，递推式里有除法，而由于除数与模数不互质，不能预处理逆元，这里有一个求不互质同余除法的方法（前提是结果必须是整数，所以只能用来求Catalan,Stirling和组合数这样的数）

$\frac{a}{b}\equiv c (mod \  d)$，我们先将d质因数分解，然后对于$a$和$b$将d的质因子部分单独统计，剩余部分直接exgcd求逆元即可。

因为剩余部分满足互质所以可以直接做逆元，而我们有$p\equiv p(mod \ ap)$，所以最后质因子部分直接乘就可以了。

这样就解决了HNOI2017的70分做法。

#include<cstdio>

#include<vector>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)

using namespace std;

const int maxn=100010;

typedef long long ll;

ll ans,cnt[maxn];

vector<int> prime;

int n,m;

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){

    if (!b) x=1,y=0;

    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=x*(a/b);

}

ll inv(ll a,ll p){ ll x,y; exgcd(a,p,x,y); return (x+p)%p; }

void getPrime(){

    ll t=m;

    for (int i=2; i*i<=t; i++)

        if (t%i==0){

            prime.push_back(i);

            while (t%i==0) t/=i;

        }

    if (t>1) prime.push_back(t);

}

void solve(){

    getPrime(); ans=1; ll res=1;

    rep(i,2,n){

        ll fz=4*i-2,fm=i+1;

        for (int k=0; k<(int)prime.size(); k++)

            if (fz%prime[k]==0)

                while (fz%prime[k]==0) fz/=prime[k],cnt[k]++;

        res=(res*fz)%m;

        for (int k=0; k<(int)prime.size(); k++){

            if (fm%prime[k]==0)

                while (fm%prime[k]==0) fm/=prime[k],cnt[k]--;

        }

        if (fm>1) res=(res*inv(fm,m))%m;

        ll t=res;

        for (int k=0; k<(int)prime.size(); k++)

            rep(s,1,cnt[k]) t=(t*prime[k])%m;

        ans=(ans+t)%m;

    }

    printf("%lld\n",ans);

}

int main(){

    while(~scanf("%d%d",&n,&m) && n+m)

        prime.clear(),memset(cnt,0,sizeof(cnt)),solve();

    return 0;

}