BZOJ_3772_精神污染_主席树
Description
兵库县位于日本列岛的中央位置，北临日本海，南面濑户内海直通太平洋，中央部位是森林和山地，与拥有关西机场的大阪府比邻而居，是关西地区面积最大的县，是集经济和文化于一体的一大地区，是日本西部门户，海陆空交通设施发达。濑户内海沿岸气候温暖，多晴天，有日本少见的贸易良港神户港所在的神户市和曾是豪族城邑“城下町”的姬路市等大城市，还有以疗养地而闻名的六甲山地等。
兵库县官方也大力发展旅游，为了方便，他们在县内的N个旅游景点上建立了n-1条观光道，构成了一棵图论中的树。同时他们推出了M条观光线路，每条线路由两个节点x和y指定，经过的旅游景点就是树上x到y的唯一路径上的点。保证一条路径只出现一次。
你和你的朋友打算前往兵库县旅游，但旅行社还没有告知你们最终选择的观光线路是哪一条（假设是线路A）。这时候你得到了一个消息：在兵库北有一群丧心病狂的香菜蜜，他们已经选定了一条观光线路（假设是线路B），对这条路线上的所有景点都释放了【精神污染】。这个计划还有可能影响其他的线路，比如有四个景点1-2-3-4，而【精神污染】的路径是1-4，那么1-3,2-4,1-2等路径也被视为被完全污染了。
现在你想知道的是，假设随便选择两条不同的路径A和B，存在一条路径使得如果这条路径被污染，另一条路径也被污染的概率。换句话说，一条路径被另一条路径包含的概率。
Input
第一行两个整数N,M
接下来N-1行，每行两个数a,b，表示A和B之间有一条观光道。
接下来M行，每行两个数x,y，表示一条旅游线路。
Output
所求的概率，以最简分数形式输出。
Sample Input
5 3
1 2
2 3
3 4
2 5
3 5
2 5
1 4
1 2
2 3
3 4
2 5
3 5
2 5
1 4
Sample Output
1/3
样例解释
可以选择的路径对有(1,2),(1,3),(2,3)，只有路径1完全覆盖路径2。
样例解释
可以选择的路径对有(1,2),(1,3),(2,3)，只有路径1完全覆盖路径2。
HINT
100%的数据满足：N,M<=100000
写完之后发现有更简单的方法。。。
方法一：离线树状数组
首先有两种路径，1字形和V字形。
对于1字型的路径，包含它的路径两端一定在链顶的儿子的子树外和链底的子树内，在dfs序上就划出了两个线段。
对于V字形的路径，被它包含的路径两端一定在两个端点的子树内，这也是两个线段。
把每条路经的端点在dfs序中的位置看成二维平面上的点，然后离线树状数组二维数点即可。
方法二：出栈入栈序+主席树
把询问挂链(x,y)，然后每个点维护根到这个点路径的信息。
在x这颗线段树上把y的入栈位置+1，出栈位置-1。
然后把询问分成x->lca,lca->y，每次分别查询x到y路径上dfn[lca]到dfn[x]，dfn[lca]到dfn[y]之间的和，其中dfn[x]表示x在dfs序中的位置。
分析一下，对于其中包含的路径(z,w)，z这个点一定在x到y路径上，故z刚刚做出的修改会在x到y这段路经上体现。
那么我们就只需要找w，由于我把入栈位置+1出栈位置-1，相当于差分实现区间加，因此查询时会查到w。
代码(方法二):
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100050
typedef long long ll;
int head[N],to[N<<1],nxt[N<<1],cnt,n,m,root[N],maxn;
int fa[N],top[N],siz[N],son[N],dep[N],dfn[N],S[N],out[N],t[N*39],tot,ls[N*39],rs[N*39];
inline void add(int u,int v) {
to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt;
}
void insert(int &y,int x,int l,int r,int v,int c) {
y=++tot; t[y]=t[x]+c;
if(l==r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(v<=mid) rs[y]=rs[x],insert(ls[y],ls[x],l,mid,v,c);
else ls[y]=ls[x],insert(rs[y],rs[x],mid+1,r,v,c);
}
int query(int a,int b,int c,int d,int l,int r,int x,int y) {
if(x<=l&&y>=r) return t[a]+t[b]-t[c]-t[d];
int mid=(l+r)>>1,re=0;
if(x<=mid) re+=query(ls[a],ls[b],ls[c],ls[d],l,mid,x,y);
if(y>mid) re+=query(rs[a],rs[b],rs[c],rs[d],mid+1,r,x,y);
return re;
}
void dfs1(int x,int y) {
S[++S[0]]=x; dfn[x]=++maxn;
int i; dep[x]=dep[y]+1; fa[x]=y; siz[x]=1;
for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y) {
dfs1(to[i],x); siz[x]+=siz[to[i]];
if(siz[to[i]]>siz[son[x]]) son[x]=to[i];
}
out[x]=++maxn;
}
void dfs2(int x,int t) {
top[x]=t; int i; if(son[x]) dfs2(son[x],t);
for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=fa[x]&&to[i]!=son[x]) dfs2(to[i],to[i]);
}
int lca(int x,int y) {
while(top[x]!=top[y]) {
if(dep[top[x]]>dep[top[y]]) swap(x,y);
y=fa[top[y]];
}
return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
ll gcd(ll x,ll y) {
return y?gcd(y,x%y):x;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
int i,x,y,j;
for(i=1;i<n;i++) {
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y); add(y,x);
}
dfs1(1,0);
dfs2(1,1);
memset(head,0,sizeof(head)); cnt=0;
for(i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
}
for(j=1;j<=n;j++) {
x=S[j];
root[x]=root[fa[x]];
for(i=head[x];i;i=nxt[i]) {
y=to[i];
insert(root[x],root[x],1,maxn,dfn[y],1);
insert(root[x],root[x],1,maxn,out[y],-1);
}
}
ll ans=0,dev=1ll*m*(m-1)/2;;
for(x=1;x<=n;x++) {
for(i=head[x];i;i=nxt[i]) {
y=to[i];
int l=lca(x,y);
ans+=query(root[x],root[y],root[l],root[fa[l]],1,maxn,dfn[l],dfn[x]);
ans+=query(root[x],root[y],root[l],root[fa[l]],1,maxn,dfn[l],dfn[y]);
ans-=query(root[x],root[y],root[l],root[fa[l]],1,maxn,dfn[l],dfn[l]);
ans--;
}
}
ll tmp=gcd(ans,dev);
printf("%lld/%lld\n",ans/tmp,dev/tmp);
}