半平面交的O(nlogn)算法（转载）
求n个半平面的交有三种做法：
第一种就是用每个平面去切割已有的凸多边形，复杂度O(n^2)。
第二种就是传说中的分治算法。将n个半平面分成两个部分，分别求完交之后再将两个相交的区域求交集。由于交出来的都是凸多边形，利用凸多边形的交可以在O(n)时间内完成的性质，将复杂度降为O(nlogn)。
第三种就是ZZY大牛的那篇论文提到的他自创的排序增量算法。但是他的那种做法还是有些复杂，在网上找到evalls写的一个很优美的版本：（原文地址：http://evalls.yo2.cn/articles/%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%BA%A4onlogn%E7%9A%84%E7%AE%97%E6%B3%95.html）
step1. 将所有半平面按极角排序，对于极角相同的，选择性的保留一个。 O(nlogn)
step2. 使用一个双端队列(deque)，加入最开始2个半平面。
step3. 每次考虑一个新的半平面：
a.while deque顶端的两个半平面的交点在当前半平面外:删除deque顶端的半平面
b.while deque底部的两个半平面的交点在当前半平面外:删除deque底部的半平面
c.将新半平面加入deque顶端
step4.删除两端多余的半平面。
具体方法是：
a.while deque顶端的两个半平面的交点在底部半平面外:删除deque顶端的半平面
b.while deque底部的两个半平面的交点在顶端半平面外:删除deque底部的半平面
重复a,b直到不能删除为止。
step5:计算出deque顶端和底部的交点即可。
这个算法描述的非常清晰。当初写的时候有两个地方想的不太明白：
step 1如何选择性的保留一个。
step3如何判断交点在半平面外。
其实这两个问题都可以用叉积来解决。首先根据给定的两点顺序规定好极角序。
假定两点o1o2的输入方向是顺时针，那么另一点P是否在其平面内只要判断o1P这个向量是否在o1o2这个向量的右手边即可。对于相同角度的两个半平面(a1a2，b1b2)，可以看a1b1这个向量是否在a1a2这个向量的右手边，每次都要选择更靠近右手边的那个半平面。
利用这个算法求多边形的核（PKU 1279），0.00MS，速度还是很快的。
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = ;
const double eps = 1e-;
int n, pn, dq[maxn], top, bot;//数组模拟双端队列
struct Point //顶点
{
double x, y;
} p[maxn]; struct Line //线
{
Point a, b;
double angle;//极角
Line& operator= (Line l)
{
a.x = l.a.x;
a.y = l.a.y;
b.x = l.b.x;
b.y = l.b.y;
angle = l.angle;
return *this;
}
} l[maxn];
int dblcmp(double k)//精度函数
{
if (fabs(k) < eps) return ;
return k > ? : -;
}
double multi(Point p0, Point p1, Point p2)
{ //叉积
return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x);
}
bool cmp(const Line& l1, const Line& l2)
{
int d = dblcmp(l1.angle-l2.angle);
if (!d)
return dblcmp(multi(l1.a, l2.a, l2.b)) < ;
//大于0取半平面的左半，小于0取右半
return d < ;
}
void addLine(Line& l, double x1, double y1, double x2, double y2)
{
l.a.x = x1;
l.a.y = y1;
l.b.x = x2;
l.b.y = y2;
l.angle = atan2(y2-y1, x2-x1);
} void getIntersect(Line l1, Line l2, Point& p)
{
double A1 = l1.b.y - l1.a.y;
double B1 = l1.a.x - l1.b.x;
double C1 = (l1.b.x - l1.a.x) * l1.a.y - (l1.b.y - l1.a.y) * l1.a.x;
double A2 = l2.b.y - l2.a.y;
double B2 = l2.a.x - l2.b.x;
double C2 = (l2.b.x - l2.a.x) * l2.a.y - (l2.b.y - l2.a.y) * l2.a.x;
p.x = (C2 * B1 - C1 * B2) / (A1 * B2 - A2 * B1);
p.y = (C1 * A2 - C2 * A1) / (A1 * B2 - A2 * B1);
} bool judge(Line l0, Line l1, Line l2)
{
Point p;
getIntersect(l1, l2, p);
return dblcmp(multi(p, l0.a, l0.b)) > ;
//与上面的注释处的大于小于符号相反，大于0，是p在向量l0.a->l0.b的左边，小于0是在右边，当p不在半平面l0内时，返回true
} void HalfPlaneIntersect( )
{
int i, j;
sort(l, l+n, cmp); //极角排序
for (i = , j = ; i < n; i++)
if (dblcmp(l[i].angle-l[j].angle) > )
l[++j] = l[i];//排除极角相同（从了l[1]开始比较）
n = j + ;//个数
dq[] = ;//双端队列
dq[] = ;//开始入队列两条直线
top = ;
bot = ;
for (i = ; i < n; i++)
{
while (top > bot && judge(l[i], l[dq[top]], l[dq[top-]])) top--;
while (top > bot && judge(l[i], l[dq[bot]], l[dq[bot+]])) bot++;
dq[++top] = i;
}
while (top > bot && judge(l[dq[bot]], l[dq[top]], l[dq[top-]])) top--;
while (top > bot && judge(l[dq[top]], l[dq[bot]], l[dq[bot+]])) bot++;
dq[++top] = dq[bot];
for (pn = , i = bot; i < top; i++, pn++)
getIntersect(l[dq[i+]], l[dq[i]], p[pn]);//更新重复利用p数组
} double getArea()
{
if (pn < ) return ;
double area = ;
for (int i = ; i < pn-; i++)
area += multi(p[], p[i], p[i+]);//利用p数组求面积
if (area < ) area = -area;
return area/;
} int main()
{
int t, i; scanf ("%d", &t);
while (t--)
{
scanf ("%d", &n);
for (i = ; i < n; i++)
scanf ("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
for (i = ; i < n-; i++)
addLine(l[i], p[i].x, p[i].y, p[i+].x, p[i+].y);
addLine(l[i], p[i].x, p[i].y, p[].x, p[].y);
HalfPlaneIntersect();
printf ("%.2lf\n", getArea());
}
return ;
}