题目
题目大意
给你一个区间\([l,r]\)，求这个区间内每个整数的十进制上从高位到低位的逆序对个数之和。
思考历程
一开始就知道这是个数位DP……
结果一直都没有调出来，心态崩了……
正解
先讲讲我的SB做法。
先设\(f_i\)表示压着第\(i\)位（从低位到高位，从\(0\)开始）的贡献。
于是转移就是这样：
- 计算第\(i\)位的贡献。这一位的贡献可能有点难计算，所以我预处理了一个\(h_{i,j,0/1}\)表示是否压着\(i\)位，\(0\)到\(i\)位对\(j\)的贡献（\(j\)是\(i\)位之后的某个在\([0,9]\)之间的数）。那么这个东西就是\(h_{i,a_i}\)
- 从\(i-1\)位转移过来，其中\(i-1\)位也被压着。显然是\(f_{i-1}\)。
- 从\(i-1\)位转移过来，其中\(i-1\)位不被压着。枚举这一位选择\(x\)，贡献就是\(\sum_{x=0}^{a_{i-1}-1}|x<j|*10^{i-1}+g_{i-2}+(i-1)*10^{i-2}x\)。\(g_i\)表示\(0\)位到\(i\)位任意选的方案数。这条式子可以化简，这里就不打出来了。
先考虑\(g\)怎么转移，显然是从前面转移过来并且加上这一位的贡献。
也就是\(g_i=10*g_{i-1}+\frac{(0+9)*10}{2}i*10^i\)
再考虑\(h\)的转移。
\(h_{i,j,0}=j*10^i+10*h_{i-1,j,0}\)
\(h_{i,j,1}\)的转移相对复杂一些。和\(f\)的转移有点类似。
记\(num\)为\(0\)到\(i-1\)位形成的十进制数，也就是整个数模\(10^i\)。
\(h_{i,j,1}=|a_i<j|*(num+1)+h_{i-1,j,1}+(\sum_{x=0}^{a_{i-1}-1}|x<j|*10^{i-1}+h_{i-2,j,0})\)
同样也可以化简一下。
化简后，很容易发现这样转移的时间复杂度是\(O(10n)\)的。
另外有个可能比较简单地比较高级的做法：
从高位到低位枚举一个\(i\)，表示\(i\)位压着上限，然后记下此时的贡献。
那么贡献有三种：
- 高于\(i\)的位和\(i\)的贡献。由于\(i\)是压着上限的，所以前面所有数字的出现次数可以用一个桶记录下来。
- \(i\)位和低于\(i\)位的贡献。我们强制后面一位没有压着上限，因为后面那一位压着上限的方案数将会在后面计算到。枚举后面的一位，再后面的就可以随便选。
- 高于\(i\)位和低于\(i\)位的贡献。这个计算也跟上一个差不多。
然后就没了。
代码
这题是在是太恶心了……细节奇多无比……
using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define mo 998244353
#define LEN 500010
#define ll long long
char str[LEN];
int n,m,L[LEN],R[LEN];
inline void read(int a[],int &n){
scanf("%s",str);
n=strlen(str);
for (int i=0;i<n;++i)
a[i]=str[n-i-1]-'0';
a[n]=0;
}
ll _pow10[LEN],*pow10=_pow10+1;
ll f[LEN],g[LEN],h[LEN][10][2];
inline ll get(int a[],int n){
if (n<=0)
return 0;
g[0]=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
g[i]=(g[i-1]*10+45*i*pow10[i-1])%mo;
for (int j=0;j<=9;++j)
h[0][j][0]=j,h[0][j][1]=(a[0]<j);
for (int i=1,num=a[0];i<=n;num=(num+pow10[i]*a[i])%mo,++i)
for (int j=0;j<=9;++j){
h[i][j][0]=(h[i-1][j][0]*10+j*pow10[i])%mo;
int tmp=min(a[i-1],j);
h[i][j][1]=((a[i]<j?num+1:0)+h[i-1][j][1]+(i-2>=0?h[i-2][j][0]*a[i-1]:0)+tmp*pow10[i-1])%mo;
}
f[0]=0,f[1]=min(a[0]+1,a[1]);
for (int i=2;i<=n;++i)
f[i]=(h[i][a[i]][1]+f[i-1]+a[i-1]*g[i-2]+(i-1)*pow10[i-2]*((a[i-1]-1)*a[i-1]>>1))%mo;
return f[n];
}
int main(){
freopen("pair.in","r",stdin);
freopen("pair.out","w",stdout);
pow10[0]=1;
for (int i=1;i<=500001;++i)
pow10[i]=pow10[i-1]*10%mo;
int T,ty;
scanf("%d%d",&T,&ty);
while (T--){
read(L,n),read(R,m);
L[0]--;
for (int i=0;L[i]<0;++i)
L[i+1]--,L[i]+=10;
if (!L[n-1])
n--;
printf("%lld\n",(get(R,m)-get(L,n)+mo)%mo);
}
return 0;
}
总结
其实这题思维上是不难的……
只是过程实在太烦……