[P2769] 猴子上树

## 题目描述

在猴村有一条笔直的山路，这条山路很窄，宽度忽略不计。有 n只猴子正站在山路上静静地观望今天来参加比赛的各位同学。用一个正整数Xi表示第i只猴子所站位置，任意两只猴子的所站位置互不相同。在这条山路的m个位置上种着一些高大的树木，正整数Yj表示第j棵树木所在的位置，任意两棵树的位置互不相同。

正当猴子们聚精会神的欣赏各位高超编程技能聚精会神的欣赏各位高超编程技能时，一只老虎大摇摆的走了过来。猴子们吓得直冒冷汗，第一反应就是找棵大树爬上去这样能避免被老虎咬死或者吃掉（不考虑老虎上树问题）。

在位置a的猴子跑到在位置b的大树上，需要消耗能量为|a-b|（即 a-b的绝对值）。为了尽可能有效利用这些大树避难，每棵上至少要一只猴子。请编程计算n只猴子全部上树最少需要消耗多能量？

输入输出格式

输入格式：

输入共4行。

第1行一个整数 n，表示猴子的数量。

第2行n个整数，i个整数个整数Xi表示第i只猴子所在的位置。

第3行一个整数m，表示大树的数量。

第4行m个整数，第j个整数表示第j棵大树所在的位置。

输出格式：

输出一行，一个整数表示n只猴子全部上树最少需要消耗的能量。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3

1 4 5

2

3 8

输出样例#1： 复制

输入样例#2： 复制

3

3 1 10

2

8 3

输出样例#2： 复制

说明

30%的数据，$1≤n≤500,1≤X_i,Y_i≤10^5$。

100%的数据，$1≤n≤5000,1≤m≤n,1≤Xi_,Y_i≤10^9$。

Solution

动态规划+滚动数组优化空间+排序。

先把猴子和树排序，这很容易想到，贪心肯定不行，因为你无法确定哪些树有猴子，而且保证全局最优，于是想到了DP。

我们设$f[i][j]$代表前$i$只猴子占满了前$j$颗树，容易想到DP方程为

\[f[i][j]=min(f[i-1][j-1]+abs(x[i]-y[j]),f[i-1][j]+mn[i][j]);
\]

$mn[i][j]$代表第$i$只猴子在上前$j$颗树的最小能量，可以预处理出来。

发现$f[i][j]会爆$$int$，所以要开$long~long$,数据范围5000？，好像

$f[5000][5000]$会爆，容易发现$f[i][j]$转移只和上一次有关，可以用滚动数组，于是转移方程为$$f[p][j]=min(f[p1][j-1]+abs(x[i]-y[j]),f[p1][j]+mn[i][j]);$$

代码如下：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll f[2][5010],x[10010],y[10010];

int mn[5010][5010];

int sba(int x)

{

    if(x<0) return -x;

    return x;

}

int main()

{

    memset(f,0x3f,sizeof(f));

    ll n,m;

    cin>>n;

    for(ll i=1;i<=n;i++)

    cin>>x[i];

    sort(x+1,x+1+n);

    cin>>m;

    for(ll i=1;i<=m;i++)

    cin>>y[i];

    sort(y+1,y+1+m);

    for(ll i=1;i<=n;i++)

    mn[i][0]=2e9;

    for(ll i=1;i<=n;i++)

    for(ll j=1;j<=m;j++)

    mn[i][j]=min(mn[i][j-1],sba(x[i]-y[j]));

    f[1][1]=sba(x[1]-y[1]);

    for(ll i=2;i<=n;i++)

    {

        ll qq=min(i,m);

    	for(ll j=1;j<=qq;j++)

    	{

    	    ll p=i%2;

    	    f[p][j]=min(f[p^1][j-1]+sba(x[i]-y[j]),f[p^1][j]+mn[i][j]);

    	}

    }

    ll p=n%2;

    cout<<f[p][m];

}

猴子