损失函数，一般由两项组成，一项是loss term,另外一项是regularization term。
J=L+R
先说损失项loss，再说regularization项。
1. 分对得分1，分错得分0.gold standard
2. hinge loss(for softmargin svm),J=1/2||w||^2 + sum(max(0,1-yf(w,x)))
3. log los, cross entropy loss function in logistic regression model.J=lamda||w||^2+sum(log(1+e(-yf(wx))))
4. squared loss, in linear regression. loss=(y-f(w,x))^2
5. exponential loss in boosting. J=lambda*R+exp(-yf(w,x))
再说regularization项，
一般用的多的是R2=1/2||w||^2,R1=sum(|w|)。R1和R2是凸的，同时R1会使得损失函数更加具有sparse，而R2则会更加光滑些。具体可以参见下图：
caffe的损失函数，目前已经囊括了所有可以用的了吧，损失函数由最后一层分类器决定，同时有时会加入regularization,在BP过程中，使得误差传递得以良好运行。
contrastive_loss，对应contrastive_loss_layer，我看了看代码，这个应该是输入是一对用来做验证的数据，比如两张人脸图，可能是同一个人的（正样本），也可能是不同个人（负样本）。在caffe的examples中，siamese这个例子中，用的损失函数是该类型的。该损失函数具体数学表达形式可以参考lecun的文章Dimensionality Reduction by Learning an Invariant Mapping, Raia Hadsell, Sumit Chopra, Yann LeCun, cvpr 2006.
euclidean_loss，对应euclidean_loss_layer,该损失函数就是l=(y-f(wx))^2，是线性回归常用的损失函数。
hinge_loss，对应hinge_loss_layer，该损失函数就是。主要用在SVM分类器中。
infogain_loss，对应infogain_loss_layer，损失函数表达式没找到，只知道这是在文本处理中用到的损失函数。
multinomial_logistic_loss，对应multinomial_logistic_loss_layer，
sigmoid_cross_entropy，对应sigmoid_cross_entropy_loss_layer,也就是logistic regression使用的损失函数。
softmax_loss,对应softmax_loss_layer，损失函数等可以见UFLDL中关于softmax章节。在caffe中多类分类问题，损失函数就是softmax_loss，比如imagenet, mnist等。softmax_loss是sigmoid的多类问题。但是，我就没明白，multinomial_logistic_loss和这个有什么区别，看代码，输入有点差别，softmax的输入是probability,而multinomial好像不要求是probability，但是还是没明白，如果只是这样，岂不是一样啊？
这里详细说明了两者之间的差异，并且有详细的测试结果，非常赞。简单理解，multinomial 是将loss分成两个层进行，而softmax则是合在一起了。或者说，multinomial loss是按部就班的计算反向梯度，而softmax则是把两个步骤直接合并为一个步骤进行了，减少了中间的精度损失等 ，从计算稳定性讲，softmax更好，multinomial是标准做法，softmax则是一种优化吧。
转自caffe:
Softmax
- LayerType:
SOFTMAX_LOSS
The softmax loss layer computes the multinomial logistic loss of the softmax of its inputs. It’s conceptually identical to a softmax layer followed by a multinomial logistic loss layer, but provides a more numerically stable gradient.
references：
http://www.ics.uci.edu/~dramanan/teaching/ics273a_winter08/lectures/lecture14.pdf
http://caffe.berkeleyvision.org/tutorial/layers.html
Bishop, pattern recognition and machine learning
http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92
http://freemind.pluskid.org/machine-learning/softmax-vs-softmax-loss-numerical-stability/