浅谈从搜索到动归

搜索

搜索的思路其实就是暴力破解（枚举每种可能的情况）
一般用dfs的相对较多，dfs是递归的代码结构，简洁明了，思路清晰
搜索的时候会形成一颗搜索树，整个搜索过程相当于在遍历这个搜索树

搜索树可通过剪枝来优化，可以理解为把这棵树上多余的枝叶剪去，更快的找到所需的答案

这里依然以01背包为例

用普通的搜索来写，就是在选取每个物品的时候，有两种选择拿or不拿
时间复杂度为O(2^n)

int w[105],v[105];
int n,c,res=0;
void dfs(int idx,int c,int val){
    if(c<0) return;
    if(idx==n){
        res=max(res,val);
        return;
    }
    dfs(idx+1,c-w[idx],val+v[idx]); //拿这个物品
    dfs(idx+1,c,val); //不拿这个物品
}
int main(){
    cin>>c>>n;
    for(int i=0;i<n;++i) cin>>w[i]>>v[i];
    dfs(0,c,0);
    cout<<res;
    return 0;
}

记忆化搜索

搜索过程中，往往包含着很多重复的计算
dfs递归参数中相同的idx和c，返回值一样，这样可以通过一个二维数组来记录
遇到相同的idx和c时，直接返回记忆化数组中之前算好的值即可

这里多啰嗦解释两句
相同的idx和c指的是，不论前面的idx-1件物品是怎么取的，只要取到第idx件物品时，此时背包容量为c，那么从这里开始的dfs返回结果都一样

int w[105],v[105];
int mem[105][1005]; //记忆化数组
int n,c,res=0;
int dfs(int idx,int c){
    if(mem[idx][c]!=-1) return mem[idx][c]; //之前已经算好了，直接返回
    if(idx==n) return mem[idx][c]=0;
    int t1=0,t2=0;
    if(c>=w[idx]) t1=dfs(idx+1,c-w[idx])+v[idx]; //拿这个物品
    t2=dfs(idx+1,c); //不拿这个物品
    return mem[idx][c]=max(t1,t2);
}
int main(){
    cin>>c>>n;
    for(int i=0;i<n;++i) cin>>w[i]>>v[i];
    memset(mem,-1,sizeof(mem));
    cout<<dfs(0,c);
    return 0;
}

动态规划

动态规划关键是在于：状态转移
从一个已求解的状态转移到一个新的状态，从而把所有情况的状态都推出来

记忆化搜索是建立一个记忆化数组存储dfs递归函数不同参数的返回值
而动态规划也是建立一个状态转移数组存储已求解的状态
int dfs(int idx, int c) 中的参数idx和c 对应着 dp[i][j] 中的数组下标i和j
动态规划和记忆化搜索如此相似，有着异曲同工之妙

此时时间复杂度已经下降到O(n*m)，相比于之前的O(2^n)是一个质的飞跃（n是物品数量，m是背包容量）

int n,c;
int w[105],v[105];
int dp[105][1005]; //dp[i][j] 表示取到第i个物品时，背包容量为j
int main(){
    cin>>c>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=c;++j){
            if(w[i]>j) dp[i][j]=dp[i-1][j];
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    cout<<dp[n][c];
    return 0;
}

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