一、梯度下降法
梯度：如果函数是一维的变量，则梯度就是导数的方向；
如果是大于一维的，梯度就是在这个点的法向量，并指向数值更高的等值线，这就是为什么求最小值的时候要用负梯度
梯度下降法（Gradient Descent） 梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。
梯度下降法的缺点：
（1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示；
（2）直线搜索时可能会产生一些问题；
（3）可能会“之字形”地下降。
从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了以下3种梯度下降方法.
1、批量梯度下降法（BGD）
从上面的公式可以看出，批量梯度下降法可以得到一个全局最优解，但是每迭代一步，计算量是m*n^2，m—样本个数，n—特征维数，都要用到训练集的所有数据，如果m很大，那么迭代速度会很慢，所以可以采用随机梯度下降法，
2、SGD
随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，如果样本量很大的情况（例如几十万），那么可能只用其中几万条或者几千条的样本，就已经将theta迭代到最优解了，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十几万训练样本，一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
SGD的问题是噪音比BGD要多，使得SGD不是每次迭代都向着整体最优的方向，SGD以损失一部分精确度和增加一定的迭代次数为代价，换取了总体的优化效率的提升，增加的迭代次数远小于样本的数量。
3、mini-batch
4、SGD和BGD的比较：
可以看到BGD和SGD是两个极端，SGD由于每次参数更新仅仅需要计算一个样本的梯度，训练速度很快，即使在样本量很大的情况下，可能只需要其中一部分样本就能迭代到最优解，由于每次迭代并不是都向着整体最优化方向，导致梯度下降的波动非常大，更容易从一个局部最优跳到另一个局部最优，准确度下降。
BGD：最小化所有训练样本的损失函数，使得最终求解的是全局最优解，即使得求解的风险函数最小，但是对于大规模样本效率较低。
SGD：最小化每条样本的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优的方向，但是大方向是全局最优解，最终的结果往往是在全局最优解的附近，适用于大规模的训练样本情况。
二、牛顿法
1、牛顿法
牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f (x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f (x) = 0的根。牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。
2、牛顿法优缺点
优点：二阶收敛，收敛速度快；
缺点：牛顿法是一种迭代算法，每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。
3、梯度下降法和牛顿法的比较
从本质来说，梯度下降法是一阶收敛，牛顿法是二阶收敛，所以牛顿法的收敛速度更快。梯度下降法每次考虑的是当前位置的负梯度下降，而牛顿法不但考虑当前位置下降的是否够快，还会考虑下一步下降的是否够大，也就是说牛顿法目标更长远一点。牛顿法是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面，而梯度下降法使用一个平面去拟合当前的局部曲面，通常情况二次曲面拟合会比平面更好，所以牛顿法的下降路径会更符合真实的最优下降路径。
三、拟牛顿法（DFP、BFGS）
拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷，它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆，从而简化了运算的复杂度。拟牛顿法和最速下降法一样只要求每一步迭代时知道目标函数的梯度。通过测量梯度的变化，构造一个目标函数的模型使之足以产生超线性收敛性。这类方法大大优于最速下降法，尤其对于困难的问题。另外，因为拟牛顿法不需要二阶导数的信息，所以有时比牛顿法更为有效。如今，优化软件中包含了大量的拟牛顿算法用来解决无约束，约束，和大规模的优化问题。
四、共轭梯度法（Conjugate Gradient）
共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
参考文献：