相机标定 和 单应性矩阵H

求解相机参数的过程就称之为相机标定。

1.相机模型中的四个平面坐标系：

1.1图像像素坐标系（u,v）

以像素为单位，是以图像的左上方为原点的图像坐标系；

1.2图像物理坐标系（也叫像平面坐标系）（x,y）

以毫米为单位，用物理单位表示图像像素位置，定义坐标系OXY，原点O定义在相机Zc轴与图像平面交点；

1.3相机坐标系（Xc,Yc,Zc）

以毫米为单位,以相机的光心作为原点，Zc轴与光轴重合，并垂直于成像平面，且取摄影方向为正方向，Xc、Yc轴

与图像物理坐标系的x,y轴平行，且OcO为摄像机的焦距f；

1.4世界坐标系（Xw,Yw,Zw）

根据具体情况而定,该坐标系描述环境中任何物体的位置，根据具体情况而定，满足右手法则；

四个坐标系关系作图如下：

2.四个坐标系转换

2.1世界坐标系（Xw，Yw，Zw）->相机坐标系（Xc，Yc，Zc）：

摄像机的外参数: 旋转向量（大小为1×3的矢量或旋转矩阵3×3）和平移向量（Tx,Ty,Tz）

从相机坐标系到世界坐标系的变换，是通过旋转矩阵R和平移矩阵t完成的。

式中，M1称为相机的外参数. R为3*3矩阵，T为3*1矩阵，0为（0，0，0），旋转矩阵R是坐标轴依次绕x,y和z轴旋转角度ψ，φ和θ,所形成的三个矩阵Rx(ψ),Ry(φ),Rz(θ)的总乘积，

如下：

矩阵R的计算公式为：

2.2相机坐标系（Xc，Yc，Zc）:->图像物理坐标系（x，y）：

摄像机的内参数：摄像机内参数矩阵(fx,fy,u0,v0)和畸变系数(三个径向k1,k2,k3,两个切向p1,p2)

OpenCV中的畸变系数的排列（这点一定要注意k1，k2，p1，p2，k3）、

理想的摄像机模型是针孔模型，但是实际的镜头不符合这种假设。另外，相机的构造以及制造、安装、工艺等因素也会造成误差，导致相机通常会存在多种非线性畸变，使得上面介绍的针孔相机模型并不能准确地描述最终的成像关系。所以，为了使相机标定结果更加准确，在进行相机标定时应该将相机的非线性畸变考虑进来，修正理想投影模型。

径向畸变

径向畸变产生的主要原因是镜头径向曲率的不规则变化，它会导致图像的扭曲变形，例如，空间中的一条直线成像到图像平面后发生弯曲，变形成一条曲线。这种畸变的特点是以主点为中心，沿径向移动，离的距离越远，产生的变形量就越大。径向畸变是导致图像畸变的主要因素。如图所示，一个矩形的严重径向失真被较正成理想线性镜头的图像。

径向畸变模型在OpenCV中被描述为：

xcorrected=x(1+k1r2+k2r4+k3r6)ycorrected=y(1+k1r2+k2r4+k3r6)

径向畸变如下图所示，有桶形畸变和枕形畸变两种。

切向畸变

由于透镜不是完美地平行于图像平面，所以存在切向畸变。这种畸变使得一些区域看上去比预期的近。畸变模型为：

xcorrected=x+[2p1xy+p2(r2+2x2)]ycorrected=y+[p1(r2+2y2)+2p2xy]

通常还有离心畸变、薄棱镜畸变等，但主要畸变是径向畸变和切向畸变，故opencv中使用这个5个参数描述摄像机畸变，即：

Distortion  coefficients=(k1,k2,p1,p2,k3)

针孔模型下的理想透视投影变换：

表示为矩阵形式为：

f表示有效焦距

2.3图像物理坐标系（x，y）:->图像像素坐标系（u，v）：

上述公式中我们假设物理坐标系中的单位为毫米，那么dx的的单位为:毫米/像素。那么x/dx的单位就是像素了，即和u的单位一样都是像素，u0 ,v0是图像中心（光轴与图像平面的交点）坐标,dx,dy分别为一个像素在X与Y 方向上的物理尺寸.

上式表示为齐次坐标与矩阵形式表示出来即为：

其逆关系可表示为：

3.世界坐标系与图像像素坐标系之间的变换关系：

M1称为相机的内参数，M2称为外参数

单应性矩阵H，来自于不同角度的拍摄，

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