题目描述

如题,给定一棵有根多叉树,请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入输出格式

输入格式:

第一行包含三个正整数N、M、S,分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来N-1行每行包含两个正整数x、y,表示x结点和y结点之间有一条直接连接的边(数据保证可以构成树)。

接下来M行每行包含两个正整数a、b,表示询问a结点和b结点的最近公共祖先。

输出格式:

输出包含M行,每行包含一个正整数,依次为每一个询问的结果。

输入输出样例

输入样例#1:

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5
输出样例#1:

4
4
1
4
4

说明

时空限制:1000ms,128M

数据规模:

对于30%的数据:N<=10,M<=10

对于70%的数据:N<=10000,M<=10000

对于100%的数据:N<=500000,M<=500000

样例说明:

该树结构如下:

「LuoguP3379」 【模板】最近公共祖先(LCA)-LMLPHP

第一次询问:2、4的最近公共祖先,故为4。

第二次询问:3、2的最近公共祖先,故为4。

第三次询问:3、5的最近公共祖先,故为1。

第四次询问:1、2的最近公共祖先,故为4。

第五次询问:4、5的最近公共祖先,故为4。

故输出依次为4、4、1、4、4。


题解

其实是放一下代码

众所周知,LCA有几种常见的做法

  • 暴力跳

    • 先把较深的往上跳,跳到同一深度
    • 然后一起跳
    • 单次复杂度$O(n)$分分钟带你上天
  • 倍增
    • 在跳的时候优化一下,不一格一格的跳,而是拆分成二进制跳
    • 是对暴力跳选手思维难度上最友好的升级方式
    • 需要预处理出每个点往上$2^i$步的祖先,
    • 时间复杂度$O(nlogn+mlogn)$,空间复杂度$O(nlogn)$
    •  /*
      qwerta
      P3379 【模板】最近公共祖先(LCA)
      Accepted
      100
      代码 C++,1.37KB
      提交时间 2018-03-13 18:33:35
      耗时/内存
      1672ms, 51789KB
      */
      #include<iostream>
      #include<cstdio>
      #include<algorithm>
      using namespace std;
      struct emm{
      int f,e;
      }a[];
      int h[];
      int d[];
      int p[][];
      void dfs(int no,int fa)
      {
      d[no]=d[fa]+;
      //cout<<no<<" "<<d[no]<<" "<<fa<<endl;
      p[no][]=fa;
      int w;
      for(w=;w<;w++)
      p[no][w]=p[p[no][w-]][w-];
      for(w=h[no];w;w=a[w].f)
      {
      if(a[w].e!=fa)
      dfs(a[w].e,no);
      }
      return;
      }
      int main()
      {
      int c=,x,y,n,m,s,i,j;
      scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
      for(i=;i<n;++i)
      {
      scanf("%d%d",&x,&y);
      ++c;
      a[c].f=h[x];
      h[x]=c;
      a[c].e=y;
      ++c;
      a[c].f=h[y];
      h[y]=c;
      a[c].e=x;
      d[i]=;
      }
      d[n]=;
      dfs(s,);
      for(i=;i<=m;++i)
      {
      scanf("%d%d",&x,&y);
      if(d[x]<d[y])swap(x,y);
      for(j=;j>=;--j)
      {
      if((d[x]-d[y])>=(<<j))
      {
      x=p[x][j];
      //cout<<x<<" ";
      }
      }
      if(x==y)printf("%d\n",x);
      else{
      for(j=;j>=;--j)
      {
      if(p[x][j]!=p[y][j])
      {
      x=p[x][j];
      y=p[y][j];
      }
      }
      printf("%d\n",p[x][]);}
      }
      /*
      for(i=1;i<=n;i++)
      {
      cout<<i<<" ";
      for(j=0;j<=19;j++)
      cout<<p[i][j]<<" ";
      cout<<endl;
      }*/
      return ;
      } 倍增求LCA

      倍增求LCA

  • ST表
    • 原理:dfs序在这两点之间 的点中,深度最小的点为lca
    • 所以记录dfs序和深度,在区间上找最小值,转化为RMQ问题。
    • 需要预处理dfs序和ST表。
    • 时间复杂度$O(n+nlogn+mlogn)$,空间复杂度$O(3*n+nlogn)$
    • 理论上比倍增慢一丢丢。
    •  /*
      qwerta
      P3379 【模板】最近公共祖先(LCA)
      Accepted
      100
      代码 C++,2.28KB
      提交时间 2018-06-24 11:36:03
      耗时/内存
      1992ms, 98929KB
      */
      #include<cstdio>
      using namespace std;
      int n,m,s;
      struct emm{
      int e,f;
      }a[];
      int h[];
      int c;
      inline int read()
      {
      int x=;
      char c=getchar();
      while(c<''||c>'') c=getchar();
      while(c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+c-'',c=getchar();
      return x;
      }
      inline void write(int x)
      {
      if(x>) write(x/);
      putchar(x%+'');
      return;
      }
      inline int min(int qwq,int qaq){return qwq<qaq?qwq:qaq;}
      inline void swap(int &qq,int &ww){int ee=qq;qq=ww;ww=ee;return;}
      inline void con(int q,int w)
      {
      a[++c].f=h[q];
      h[q]=c;
      a[c].e=w;
      return;
      }
      inline void scan()
      {
      n=read(),m=read(),s=read();
      //scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
      int x,y;
      for(register int i=;i<n;++i)
      {
      x=read(),y=read();
      //scanf("%d%d",&x,&y);
      con(x,y);
      con(y,x);
      }
      return;
      }
      int fir[];
      int pl[];
      int d[];
      int f[][];
      int dd;
      void dfs(int x)
      {
      d[x]=++dd;
      pl[++c]=x;
      //printf("%d %d %d %d\n",c,x,d[c],pl[c]);
      if(!fir[x])fir[x]=c;
      for(register int i=h[x];i;i=a[i].f)
      {
      int u=a[i].e;
      if(!fir[u])
      {
      dfs(u);
      pl[++c]=x;
      //printf("%d %d %d %d\n",c,x,d[c],pl[c]);
      }
      }
      --dd;
      return;
      }
      inline void rmq()
      {
      for(register int i=;i<=c;++i)
      f[i][]=pl[i];
      for(register int j=;(<<j)<=c;++j)
      for(register int i=;i+(<<j)-<=c;++i)
      {
      if(d[f[i][j-]]<d[f[i+(<<(j-))][j-]])
      f[i][j]=f[i][j-];
      else f[i][j]=f[i+(<<(j-))][j-];
      }
      return;
      }
      inline void predo()
      {
      c=;
      dfs(s);
      rmq();
      return;
      }
      inline void find(int x,int y)
      {
      int l=fir[x],r=fir[y];
      if(l>r)swap(l,r);
      int p;
      //cout<<l<<" "<<r<<" ";
      for(register int j=;j>=;--j)
      if(l+(<<j)-<=r)
      {
      //cout<<f[l][j]<<" "<<f[r-(1<<j)+1][j]<<endl;
      //cout<<l<<" "<<r<<" "<<j<<endl;
      p=d[f[l][j]]<d[f[r-(<<j)+][j]]
      ?f[l][j]:f[r-(<<j)+][j];
      //p=min(f[l][j],f[r-(1<<j)+1][j]);
      write(p);putchar('\n');
      return;
      }
      //cout<<"a"<<endl;
      return;
      }
      inline void run()
      {
      for(register int i=;i<=m;++i)
      {
      int x,y;
      scanf("%d%d",&x,&y);
      find(x,y);
      }
      return;
      }
      int main()
      {
      scan();
      predo();
      run();
      return ;
      }

      ST表求LCA

  • tarjan
    • 和求强连通分量的tarjan不是一个东西。
    • 不太了解,应该是最小众的做法了叭,据说有常数上的优势?
    • 其实以前是听懂过的,但是仗着自己已经会两种做法了就飘了没写
  • 树链剖分
    • 乍一听挺二了吧唧的,以前觉得像各种A+B的题解一样装哔
    • 但是自从会了树剖之后我的倍增和ST表就忘光了a!(不知道该开心还是难过
    • 对于会树剖的选手而言,又好写又不用过脑子还快。
    • 需要预处理遍历两遍,和做一个gettop的操作,正式跑的过程应该比倍增和ST快。
    • 反正我写出来快了不少。
    •  /*
      qwerta
      P3379 【模板】最近公共祖先(LCA)
      Accepted
      100
      代码 C++,1.48KB
      提交时间 2018-10-09 19:16:23
      耗时/内存
      1043ms, 20392KB
      */
      #include<cstdio>
      #include<iostream>
      using namespace std;
      #define R register
      const int MAXN=;
      struct emm{
      int e,f;
      }a[*MAXN];
      int h[MAXN];
      int tot=;
      void con(int x,int y)
      {
      a[++tot].f=h[x];
      h[x]=tot;
      a[tot].e=y;
      a[++tot].f=h[y];
      h[y]=tot;
      a[tot].e=x;
      return;
      }
      int fa[MAXN],d[MAXN],siz[MAXN],z[MAXN],top[MAXN];
      void dfs(int x)
      {
      siz[x]=;
      top[x]=x;
      int mac=,macc=-;
      for(R int i=h[x];i;i=a[i].f)
      if(!d[a[i].e])
      {
      d[a[i].e]=d[x]+;
      fa[a[i].e]=x;
      dfs(a[i].e);
      siz[x]+=siz[a[i].e];
      if(siz[a[i].e]>macc){mac=a[i].e;macc=siz[a[i].e];}
      }
      z[x]=mac;
      top[mac]=x;
      return;
      }
      int fitop(int x)
      {
      if(top[x]==x)return x;
      return top[x]=fitop(top[x]);
      }
      inline int read()
      {
      char ch=getchar();
      int x=;
      while(!isdigit(ch))ch=getchar();
      while(isdigit(ch)){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
      return x;
      }
      void write(int x)
      {
      if(x>)write(x/);
      putchar(x%+'');
      return;
      }
      int main()
      {
      //freopen("a.in","r",stdin);
      int n=read(),m=read(),s=read();
      for(R int i=;i<n;++i)
      {
      int x=read(),y=read();
      con(x,y);
      }
      d[s]=;
      dfs(s);
      for(R int i=;i<=n;++i)
      top[i]=fitop(i);
      for(R int c=;c<=m;++c)
      {
      int u=read(),v=read();
      while(top[u]!=top[v])
      {
      if(d[top[u]]>d[top[v]])u=fa[top[u]];
      else v=fa[top[v]];
      }
      write(d[u]<d[v]?u:v);
      putchar('\n');
      }
      return ;
      }

      树剖求LCA

也许还有别的做法叭,太弱了不了解。

总结

在倍增和ST之间推荐倍增,思维难度低,效率还蛮不错。

但是也见过考试考RMQ问题的...我校倍增选手当场哭出声2333

然后会了树剖还写这些个毛,多难想啊2333

其实我只是放一下代码的qwq

UPD

我校选手看过来!

这里是我下午当场出锅的代码(qaq

 /*
qwerta
P3379 【模板】最近公共祖先(LCA)
Accepted
100
代码 C++,1.18KB
提交时间 2018-10-14 16:54:45
耗时/内存
2037ms, 53444KB
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define R register
struct emm{
int to,nxt;
}a[];
int h[];//邻接链表存图
int cnt=;
inline void con(int x,int y)//连边
{
a[++cnt].nxt=h[x];
h[x]=cnt;
a[cnt].to=y;
a[++cnt].nxt=h[y];
h[y]=cnt;
a[cnt].to=x;
return;
}
int fa[],d[];
void dfs(int x)//dfs建树
{
for(R int i=h[x];i;i=a[i].nxt)
if(!d[a[i].to])
{
d[a[i].to]=d[x]+;
fa[a[i].to]=x;
dfs(a[i].to);
}
return;
}
int la[][];//向上2^j步的祖先
int main()
{
int n,m,s;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(R int i=;i<n;++i)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);//读边
con(x,y);
}
d[s]=;
fa[s]=s;
dfs(s);
for(R int i=;i<=n;++i)
la[i][]=fa[i];
for(R int j=;j<=;++j)
for(R int i=;i<=n;++i)
la[i][j]=la[la[i][j-]][j-];
//cout<<endl;
for(R int i=;i<=m;++i)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(d[x]<d[y])swap(x,y);
//
for(R int j=;j>=;--j)
if(d[x]-(<<j)>=d[y])
x=la[x][j];
//same depth
if(x==y){printf("%d\n",y);continue;}
for(R int j=;j>=;--j)
if(la[x][j]!=la[y][j])
x=la[x][j],y=la[y][j];
//cout<<x<<" "<<y<<" "<<endl;
printf("%d\n",fa[x]);
}
return ;
}

都追到这里了要给老学姐点个关注吖!QAQ

05-11 22:43