【BZOJ2707】[SDOI2012]走迷宫
Description
Morenan被困在了一个迷宫里。迷宫可以视为N个点M条边的有向图，其中Morenan处于起点S，迷宫的终点设为T。可惜的是，Morenan非常的脑小，他只会从一个点出发随机沿着一条从该点出发的有向边，到达另一个点。这样，Morenan走的步数可能很长，也可能是无限，更可能到不了终点。若到不了终点，则步数视为无穷大。但你必须想方设法求出Morenan所走步数的期望值。
Input
第1行4个整数，N,M,S,T
第[2, M+1]行每行两个整数o1, o2，表示有一条从o1到o2的边。
Output
一个浮点数，保留小数点3位，为步数的期望值。若期望值为无穷大，则输出"INF"。
【样例输入1】
6 6 1 6
1 2
1 3
2 4
3 5
4 6
5 6
【样例输出1】
3.000
【样例输入2】
9 12 1 9
1 2
2 3
3 1
3 4
3 7
4 5
5 6
6 4
6 7
7 8
8 9
9 7
【样例输出2】
9.500
【样例输入3】
2 0 1 2
【样例输出3】
INF
【数据范围】
测试点 | N | M | Hint |
[1, 6] | <=10 | <=100 | |
[7, 12] | <=200 | <=10000 | |
[13, 20] | <=10000 | <=1000000 | 保证强连通分量的大小不超过100 |
另外，均匀分布着40%的数据，图中没有环，也没有自环
题解：先Tarjan缩环，然后对于强连通分量内部的点，用高斯消元，外部的DAG用拓扑排序+DP。具体细节还是说一下吧：
1.高斯消元时，列方程$f[i]=\sum f[j]/d[i]+1$，发现i的某些出边可能指向强连通分量外的点，把它们都当成常数项就好了。特别地，T的方程要特殊处理。
2.判断INF时比较坑，从S开始BFS，我们的DAG只能包含我们能DFS到的点，并且，搜到T时要立刻停止。DFS后，如果发现一个强连通分量的出度为0且不是T所在的强连通分量，则INF。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
const int maxn=10010;
using namespace std;
int n,m,cnt,Cnt,tot,top,sum,S,T;
vector<int> s[maxn];
int dep[maxn],low[maxn],head[maxn],to[1000010],next[1000010],sta[maxn],d[maxn],ins[maxn],D[maxn],pos[maxn],bel[maxn];
int To[1000010],Next[1000010],Head[maxn],vis[maxn];
double p[maxn],v[110][110];
queue<int> q;
inline void add(int a,int b)
{
to[cnt]=b,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
inline void Add(int a,int b)
{
To[Cnt]=b,Next[Cnt]=Head[a],Head[a]=Cnt++;
}
void tarjan(int x)
{
dep[x]=low[x]=++tot,sta[++top]=x,ins[x]=1;
int i,t;
for(i=Head[x];i!=-1;i=Next[i])
{
if(!dep[To[i]]) tarjan(To[i]),low[x]=min(low[x],low[To[i]]);
else if(ins[To[i]]) low[x]=min(low[x],dep[To[i]]);
}
if(dep[x]==low[x])
{
sum++;
do
{
t=sta[top--],ins[t]=0,bel[t]=sum,pos[t]=s[sum].size(),s[sum].push_back(t);
}while(t!=x);
}
}
void calc(int x)
{
int i,j,k,a,b,nm=s[x].size();
for(i=0;i<nm;i++) memset(v[i],0,sizeof(v[0][0])*(nm+1));
for(i=0;i<nm;i++)
{
a=s[x][i];
for(j=head[a];j!=-1;j=next[j])
{
b=to[j];
if(bel[b]==bel[a]) v[pos[b]][pos[a]]+=1.0/d[b],v[pos[b]][nm]-=1.0/d[b];
}
}
for(i=0;i<nm;i++)
{
v[i][nm]-=p[s[x][i]];
if(s[x][i]==T) for(j=0;j<=nm;j++) v[i][j]=0;
v[i][i]-=1;
}
for(i=0;i<nm;i++)
{
for(j=i+1;j<nm;j++) if(fabs(v[j][i])>fabs(v[i][i])) for(k=i;k<=nm;k++) swap(v[j][k],v[i][k]);
double tmp=v[i][i];
if(fabs(tmp)<1e-9) continue;
for(k=i;k<=nm;k++) v[i][k]/=tmp;
for(j=0;j<nm;j++) if(i!=j)
{
tmp=v[j][i];
for(k=i;k<=nm;k++) v[j][k]-=v[i][k]*tmp;
}
}
for(i=0;i<nm;i++) p[s[x][i]]=v[i][nm];
}
void dfs(int x)
{
vis[x]=1;
if(x==T) return ;
for(int i=Head[x];i!=-1;i=Next[i])
{
if(bel[To[i]]!=bel[x]) D[bel[x]]++;
if(!vis[To[i]]) dfs(To[i]);
}
}
inline int rd()
{
int ret=0,f=1; char gc=getchar();
while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-')f=-f; gc=getchar();}
while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
return ret*f;
}
int main()
{
n=rd(),m=rd(),S=rd(),T=rd();
int i,j,a,b,u,v;
memset(head,-1,sizeof(head)),memset(Head,-1,sizeof(Head));
for(i=1;i<=m;i++) a=rd(),b=rd(),Add(a,b),add(b,a),d[a]++;
for(i=1;i<=n;i++) if(!dep[i]) tarjan(i);
dfs(S);
for(i=1;i<=n;i++) if(vis[i]&&bel[i]!=bel[T]&&!D[bel[i]])
{
printf("INF");
return 0;
}
q.push(bel[T]);
while(!q.empty())
{
u=q.front(),q.pop();
calc(u);
if(u==bel[S])
{
printf("%.3lf",fabs(p[S]));
return 0;
}
for(i=0;i<(int)s[u].size();i++) for(v=s[u][i],j=head[v];j!=-1;j=next[j]) if(bel[to[j]]!=bel[v])
{
D[bel[to[j]]]--,p[to[j]]+=(p[v]+1)/d[to[j]];
if(!D[bel[to[j]]]) q.push(bel[to[j]]);
}
}
printf("INF");
return 0;
}//9 12 1 6 1 2 2 3 3 1 3 4 3 7 4 5 5 6 6 4 6 7 7 8 8 9 9 7