题目大意
有一个\(n*m\)（\(n,m\leq10^9\)）的网格，每个格子是空地或障碍（\(障碍数\leq10^5\)）
定义两块空地连通，当且仅当它们是“相邻的两块空地”或“存在一块空地与这两块空地连通的两块空地”（也就是四连通）
求至少添加多少块障碍物，使存在两块空地不连通，或者输出-1表示无解
题解
当只有一块空地或只有两块相邻的空地时，无解
有解时，发现总能找到一个角落，使只用两个障碍物就能将这个角落和外界分开（如图）
也就是说，答案不超过2
当初始的障碍物已经将空地分成多个连通块时，答案为0
当存在一个点，把该点删去后空地会变成多个空地连通块时（割点），答案为1
以上两种都没有，答案为2
如果n*m比较小的话，就可以直接将每块空地与它上下左右的空地连边，判连通性，tarjan找割点
但是n,m都比较大，存不下，考虑上一种建图法中有哪些点是不必要的
连通性：
发现如果存在两个点不连通，那么一定存在两个不连通的点是被一个障碍物连通块隔开的
也就是说，可以通过判断“是否存在一个障碍物连通块，与它相邻的所有空地中，存在两块空地不连通”来判断整个图是否连通
具体地，先找出所有障碍物连通块，只把所有与这个连通块相邻（八连通）的空地互相连边，判断连通性
割点：
发现当网格的宽度不为1时，割点一定会与障碍相邻(1)
将不与障碍相邻的点删去后，剩下的点才可能成为割点，将这些点组成的图称为“图1”
但是这样建图后，会发现图中的割点可能会和它周围的没被加入图的空地相邻，导致它不是割点
那么就把与图1中的点相邻且不是障碍的点加入，得到图2，求图2是否有割点
根据(1)，后加入的点在原图中一定不是割点，所以通过判断图2是否存在一个割点在图1中来判断原图是否有割点
代码
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iomanip>
#include<iostream>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)
#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)
#define view(u,k) for(int k=fir[u];k!=-1;k=nxt[k])
#define view2(u,k) for(int k=fir2[u];k!=-1;k=nxt2[k])
#define maxn 100010
#define maxnd 2500010
#define LL long long
#define maxm (maxnd<<2)
using namespace std;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
void write(int x)
{
if(x==0){putchar('0'),putchar('\n');return;}
int f=0;char ch[20];
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;
while(f)putchar(ch[f--]);
putchar('\n');
return;
}
int t,n,m,c,qx[maxn],qy[maxn],tim,cnts,cntnd,pos[maxnd],sop[maxnd],sop2[maxnd],maxy;
int fir[maxnd],nxt[maxm],v[maxm],cnte,dfn[maxnd],low[maxnd],fa[maxnd],yes,stk[maxnd],tp;
int fir2[maxn],nxt2[maxn<<2],v2[maxn<<2],cnte2,cntnd2,vis2[maxn],vis[maxnd];
struct seq{int x,y,ad;}a[maxnd],b[maxn];
map<int,int>lft,up;
void ade(int u1,int v1){v[cnte]=v1,nxt[cnte]=fir[u1],fir[u1]=cnte++;}
void ade2(int u1,int v1){v2[cnte2]=v1,nxt2[cnte2]=fir2[u1],fir2[u1]=cnte2++;}
bool cmp1(seq x,seq y){return x.y==y.y?(x.x==y.x?x.ad<y.ad:x.x<y.x):x.y<y.y;}
int f(int x){return fa[x]<0?x:fa[x]=f(fa[x]);}
void merge(int x,int y){x=f(x),y=f(y);if(x==y)return;fa[x]+=fa[y],fa[y]=x;}
void tar(int u,int fa)
{
int in=0;
dfn[u]=low[u]=++tim;
view(u,k)
{
if(!dfn[v[k]])
{
tar(v[k],fa);
if(yes)return;
low[u]=min(low[u],low[v[k]]);
if(low[v[k]]>=dfn[u]&&u!=fa&&a[sop[u]].ad==1){yes=1;return;}
if(u==fa)in++;
}
low[u]=min(low[u],dfn[v[k]]);
}
if(u==fa&&in>=2&&a[sop[u]].ad==1){yes=1;return;}
}
int getr(int x,int y)
{
int l=1,r=cnts,ans=0;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(a[mid].x==x&&a[mid].y==y)ans=max(ans,mid),l=mid+1;
else if(a[mid].y<y||(a[mid].y==y&&a[mid].x<x))l=mid+1;
else r=mid-1;
}
return ans;
}
void getstk(int u)
{
vis2[u]=1;
int liml=max(1,a[sop2[u]].x-1),limr=min(n,a[sop2[u]].x+1),limd=max(1,a[sop2[u]].y-1),limu=min(m,a[sop2[u]].y+1);
rep(i,liml,limr)
rep(j,limd,limu)
{
int tmp=pos[getr(i,j)];
if(tmp&&!vis[tmp])stk[++tp]=tmp,vis[tmp]=1;
}
view2(u,k)if(!vis2[v2[k]])getstk(v2[k]);
return;
}
int jug()
{
int res=1;
rep(i,1,cntnd2)
{
tp=0;
if(!vis2[i])
{
getstk(i);
rep(j,1,tp)vis[stk[j]]=0;
rep(j,2,tp)if(f(stk[j])!=f(stk[1])){res=0;break;}
if(!res)break;
}
}
return res;
}
int main()
{
t=read();
while(t--)
{
n=read(),m=read(),c=read();cntnd=tim=cnts=cnte=yes=maxy=cntnd2=cnte2=0;
rep(i,1,c*25)fir[i]=fa[i]=-1,dfn[i]=sop[i]=pos[i]=0;lft.clear(),up.clear();
rep(i,1,c)
{
qx[i]=read(),qy[i]=read(),fir2[i]=-1,sop2[i]=vis2[i]=0;
int liml=max(1,qx[i]-2),limr=min(n,qx[i]+2),limd=max(1,qy[i]-2),limu=min(m,qy[i]+2);
rep(j,liml,limr)
rep(k,limd,limu)
{
a[++cnts].x=j,a[cnts].y=k,a[cnts].ad=min(2-abs(j-qx[i]),2-abs(k-qy[i]));
}
}
sort(a+1,a+cnts+1,cmp1);
int now=0;
rep(i,1,cnts)
{
if(i==cnts||(a[i].x!=a[i+1].x||a[i].y!=a[i+1].y))
{
if(a[i].ad==2)
{
int t1=up[a[i].y],t2=lft[a[i].x];cntnd2++;
up[a[i].y]=-cntnd2;lft[a[i].x]=-cntnd2;sop2[cntnd2]=i;
if(t1<0&&a[sop2[-t1]].x==a[i].x-1)ade2(-t1,cntnd2),ade2(cntnd2,-t1);
if(t2<0&&a[sop2[-t2]].y==a[i].y-1)ade2(-t2,cntnd2),ade2(cntnd2,-t2);
continue;
}
cntnd++;sop[cntnd]=i,pos[i]=cntnd;
int t1=up[a[i].y],t2=lft[a[i].x];up[a[i].y]=cntnd;lft[a[i].x]=cntnd;
if(t1>0)ade(t1,cntnd),ade(cntnd,t1),merge(t1,cntnd);
if(t2>0)ade(t2,cntnd),ade(cntnd,t2),merge(t2,cntnd);
}
}
int yeslink=jug();
if((LL)n*(LL)m<=2)write(-1);
else if(c==0)write(min(n,m)==1?1:2);
else if(cntnd==0)write(-1);
else if(!yeslink)write(0);
else if((LL)n*(LL)m-(LL)c<=2ll)write(-1);
else if(min(n,m)==1)write(1);
else
{
rep(i,1,cntnd){if(!dfn[i])tar(i,i);if(yes)break;}
if(yes)write(1);
else write(2);
}
}
return 0;
}