BZOJ_1492_[NOI2007]货币兑换Cash_CDQ分治+斜率优化

Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券和 B券的价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将 OP% 的 A券和 OP% 的 B券以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

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假定在第一天时，用户手中有 100元人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经

知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能

够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B

K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0<AK≤10；0<BK≤10；0<RateK≤100；MaxProfit≤1

0^9。

【提示】

1.输入文件可能很大，请采用快速的读入方式。

2.必然存在一种最优的买卖方案满足：

每次买进操作使用完所有的人民币；

每次卖出操作卖出所有的金券。

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

BZOJ_1492_[NOI2007]货币兑换Cash_CDQ分治+斜率优化-LMLPHP

首先贪心的想，每天的操作只有三种可能，什么也不干，全部买入和全部卖出。

设x[i]为第i天能获得A卷的数量，y[i]为第i天能获得B卷的数量。

y[i]=f[i]/(rate[i]*A[i]+B[i])，x[i]=y[i]*rate[i]。

那么f[i]=max(f[i-1],x[j]*A[i]+y[j]*B[i])，其中我们需要找到一个已经确定F值得j来转移这个过程。

F[i]=X[j]*A[i]+Y[j]*B[i]

F[i]/A[i]=Y[j]*(B[i]/A[i])+X[j]。

把Y[j]当做斜率。那么我们会发现不仅Y[j]不单调，每次切的横坐标(B[i]/A[i])也不单调。

这时候我们使用CDQ分治。

本题的思想：对左边进行处理，处理左边对右边的影响(F的转移)，再对右边进行处理。

先按(B[i]/A[i])排序，然后每步再按斜率归并上去。

也就是说我们到了一个局面，满足左边的斜率单调，右边每次切的横坐标单调。

这个就很好办了，对左边单调栈求凸包，然后维护一个指针扫一遍凸包。

正确性：所有能更新F[i]的F[j]在更新F[i]之前都已经更新完毕了，同时F[i]被1~i-1中的每个F[j]都更新到了。

代码：

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef double f2;

#define N 100050

#define eps 1e-6

f2 xx[N],yy[N],f[N],A[N],B[N],rate[N],K[N],pos[N];

int n,t[N],tmp[N],S[N];

#define Y(i,j) (K[j]*pos[i]+xx[j])

bool cmp(int x,int y) {return pos[x]<pos[y];}

bool judge(int p1,int p2,int p3) {

    return (yy[p2]-yy[p3])*(xx[p1]-xx[p2])<=(yy[p1]-yy[p2])*(xx[p2]-xx[p3]);

}

void solve(int l,int r) {

    if(l==r) {

        f[l]=max(f[l],f[l-1]);

        yy[l]=f[l]/(rate[l]*A[l]+B[l]);

        xx[l]=yy[l]*rate[l];

        K[l]=yy[l];

        return ;

    }

    int mid=(l+r)>>1;

    int i,j=l,k=mid+1;

    for(i=l;i<=r;i++) {

        if(t[i]<=mid) tmp[j++]=t[i];

        else tmp[k++]=t[i];

    }

    for(i=l;i<=r;i++) t[i]=tmp[i];

    solve(l,mid);

    int top=0;

    for(i=l;i<=mid;i++) {

        while(top>1&&judge(S[top-1],S[top],t[i])) top--;

        S[++top]=t[i];

    }

    for(j=1,i=mid+1;i<=r;i++) {

        while(j<top&&Y(t[i],S[j+1])>=Y(t[i],S[j])) j++;

        f[t[i]]=max(f[t[i]],Y(t[i],S[j])*A[t[i]]);

    }

    solve(mid+1,r);

    i=j=l,k=mid+1;

    while(j<=mid&&k<=r) {

        if(K[t[j]]<=K[t[k]]) tmp[i++]=t[j++];

        else tmp[i++]=t[k++];

    }

    while(j<=mid) tmp[i++]=t[j++];

    while(k<=r) tmp[i++]=t[k++];

    for(i=l;i<=r;i++) t[i]=tmp[i];

}

int main() {

    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);

    int i,j;

    for(i=1;i<=n;i++) {

        scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&rate[i]);

        t[i]=i; pos[i]=B[i]/A[i];

    }

    sort(t+1,t+n+1,cmp);

    solve(1,n);

    printf("%.3f\n",f[n]);

}