遍历二叉树可以用递归的方法去实现,也可以用非递归的方法去实现。递归代码的好处是简洁,直观,最主要的还是递归的代码少,很快就可以写完。但我们知道,递归的调用会用到一个专门的栈,这个栈的深度是有限的,如果递归函数调用的次数很多,超过栈限制的深度,那么程序就会崩溃。这个时候就需要把递归的代码改为非递归了。因此,了解掌握遍历二叉树的非递归实现还是很有必要的。
下面会给出先序遍历,中序遍历,后序遍历的递归与非递归代码,以及层次遍历的代码。
首先,先给出二叉树的节点定义:
1 struct BinTNode { 2 int data; 3 BinTNode *lchild, *rchild; 4 };
先序遍历
先序遍历,就是先访问根节点,再访问左子树,最后再访问右子树。而要访问左子树,同样是先访问左子树的根节点,再访问左子树的左子树,最后再访问左子树的右子树。访问右子树也是同样的方法。所以,我们自然而然想到用递归的算法。
为了方便表述,我们遍历二叉树所做的事情是把该节点的值输出。
对于一个递归函数,我们不应该跳到递归里面去,而是去理解递归函数的定义,也就是它的作用是什么?递归结束后会返回什么样的结果?
我们把先序遍历的递归函数定义为:传入一个根节点,如果这个节点不为空,就输出根节点的值,然后把左子树的所有节点的值输出,再把右子树的所有节点的值输出,这就是先序遍历递归函数的作用。由于函数的返回值是void,所有递归结束后不会有返回结果。所以再按照先序遍历的定义,我们可以把递归函数写成下面这样:
1 void preOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 if (T) { // 节点不为空才可以输出值 3 cout << T -> data; // 先输出根节点的值 4 preOrderTraversal(T -> lchild); // 再把左子树的根,也就是T -> lchild传到我们的递归函数中,输出左子树所有节点的值 5 preOrderTraversal(T -> rchild); // 最后把右子树的根,也就是T -> rchild传到我们的递归函数中,输出右子树所有节点的值 6 } 7 }
了解了递归的代码后,接下来就是先序遍历的非递归实现。
我们知道,当调用递归函数来遍历二叉树,每一个节点都会被访问3次。
而先序遍历就对应着当该节点被第1次访问时就,输出该节点的值。由于递归的本质是运用栈,因此我们也可以模拟一个栈来实现非递归。当遇到一个不为空的节点时,我们把这个节点压入栈,这就对应于第1次访问这个节点,所以在压入栈后,输出该节点的值。然后一直做T = T -> lchild这个动作,把节点对应的左子树节点压到栈,同时输出节点的值。直到左子树为空,这时就弹出栈顶元素,这个时候该节点被第2次访问。把弹出节点的右子树节点再压入栈中。这个过程不断重复,直到节点和栈都为空。这就实现了先序遍历,先是根节点,再是左子树,最后是右子树。
先序遍历的非递归代码如下:
1 void preOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 SNode *S = initStack(); // 申请一个栈 3 while (T || !isEmpty(S)) { // 循环的条件是根节点和栈不同时为空 4 if (T) { // 如果根节点存在不为空 5 push(S, T); // 把根节点压入栈 6 cout << T -> data; // 由于是第一次访问该节点,所以输出节点的值 7 T = T -> lchild; // 把左子树的根节点赋值给T,进入下一次循环 8 } 9 else { // 如果根节点为空 10 T = pop(S); // 弹出栈顶元素,第二次访问该节点 11 T = T -> rchild; // 把右子树的根节点赋值给T,进入下一次循环 12 } 13 } 14 }
还有另外一种先序遍历的非递归代码,和上面的代码几乎一样:
1 void preOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 SNode *S = initStack(); 3 while (T || !isEmpty(S)) { 4 while (T) { 5 push(S, T); 6 cout << T -> data; 7 T = T -> lchild; 8 } 9 if (!isEmpty(S)) { 10 T = pop(S); 11 T = T -> rchild; 12 } 13 } 14 }
中序遍历
中序遍历,就是先访问左子树,再访问根节点,最后再访问右子树。而要访问左子树,同样是先访问左子树的左子树,再访问左子树的根节点,最后再访问左子树的右子树。访问右子树也是同样的方法。所以,同样可以用递归去实现。
我们把中序遍历的递归函数定义为:传入一个根节点,如果这个节点不为空,先把左子树的所有节点的值输出,再输出根节点的值,最后把右子树的所有节点的值输出。其实,按照中序遍历的定义,把先序遍历的部分递归代码进行交换,就变成中序遍历了:
1 void inOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 if (T) { // 节点不为空才可以输出值 3 inOrderTraversal(T -> lchild); // 先把左子树的根,也就是T -> lchild传到我们的递归函数中,输出左子树所有节点的值 4 cout << T -> data; // 再输出根节点的值 5 inOrderTraversal(T -> rchild); // 最后把右子树的根,也就是T -> rchild传到我们的递归函数中,输出右子树所有节点的值 6 } 7 }
接下来是中序遍历的非递归实现。按中序遍历的定义,当节点被第2次访问时,我们就输出节点的值。所以中序遍历和先序遍历的非递归实现几乎一样,只不过是在节点被第2次访问时才输出该节点的值,所以我们只需要把输出语句改放到该节点被第2次访问之后就可以了,也就是改放到节点从栈顶被弹出之后。
1 void inOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 SNode *S = initStack(); 3 while (T || !isEmpty(S)) { 4 if (T) { 5 push(S, T); // 把根节点压入栈,第一次访问该节点 6 T = T -> lchild; 7 } 8 else { 9 T = pop(S); // 弹出栈顶元素,第二次访问该节点 10 cout << T -> data; // 由于是第二次访问该节点,所以输出节点的值 11 T = T -> rchild; 12 } 13 } 14 }
还有另外一种中序遍历的非递归代码,和上面的代码几乎一样:
1 void inOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 SNode *S = initStack(); 3 while (T || !isEmpty(S)) { 4 while (T) { 5 push(S, T); 6 T = T -> lchild; 7 } 8 if (!isEmpty(S)) { 9 T = pop(S); 10 cout << T -> data; 11 T = T -> rchild; 12 } 13 } 14 }
后序遍历
后序遍历,就是先访问左子树,再访问右子树,最后再访问根节点。而要访问左子树,同样是先访问左子树的左子树,再访问左子树的右子树,最后再访问左子树的根节点。访问右子树也是同样的方法。所以,同样可以用递归去实现。
我们把后序遍历的递归函数定义为:传入一个根节点,如果这个节点不为空,先把左子树的所有节点的值输出,再把右子树的所有节点的值输出,最后再输出根节点的值。和上面一样,后序遍历的递归函数只需要把部分递归代码进行交换:
1 void postOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 if (T) { // 节点不为空才可以输出值 3 postOrderTraversal(T -> lchild); // 先把左子树的根,也就是T -> lchild传到我们的递归函数中,输出左子树所有节点的值 4 postOrderTraversal(T -> rchild); // 再把右子树的根,也就是T -> rchild传到我们的递归函数中,输出右子树所有节点的值 5 cout << T -> data; // 最后输出根节点的值 6 } 7 }
至于后序遍历的非递归实现,就没有那么容易了。如果我们尝试在前面的先序遍历和中序遍历的非递归代码中,调换cout << T -> data; 这条语句的位置,我们会发现无论我们把它放在哪里,都无法实现后续遍历。这是由于在先序遍历和中序遍历的非递归代码中,每个节点最多能被访问2次,也就是在压入和弹出时被访问。而后序遍历要求是在节点被第3次访问时才输出节点的值。所以很明显,之前的非递归函数并不能够实现后序遍历。所以我们只能够用其他的方法来实现非递归的后序遍历。
下面给出两种不同的后序遍历的非递归代码实现:
1. 在节点中加入一个标志域。
1 struct BinTNode { 2 int data; 3 BinTNode *lchild, *rchild; 4 bool isFirst; // 第一次访问节点时赋值为true;第二次访问时,也就是从栈顶弹出时赋值为false,再压入栈中;当节点再弹出时已是第三次访问该节点了 5 };
标志域的作用就是,当节点是第一次被弹出时,如果节点的标志域为true,那么我们再次把它压入栈里面,同时把标志域改为false,这样该节点就可以再弹出一次。当再次弹出该节点时,又因为此时节点的标志域为false,不会再被压入,从而该节点就可以实现被访问3次了。
这样子我们就可以对一个节点访问3次,在第3次访问时输出该节点的值,从而就可以实现后序遍历了:
1 void postOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 SNode *S = initStack(); 3 while (T || !isEmpty(S)) { 4 if (T) { 5 push(S, T); // 把根节点压入栈,第一次访问该节点 6 T -> isFirst = true; // 标志域赋值为true 7 T = T -> lchild; 8 } 9 else { 10 T = pop(S); 11 if (T -> isFirst) { // 如果节点的标志域为true 12 push(S, T); // 我们继续把它压入栈中,同时该节点被第二次访问 13 T -> isFirst = false; // 同时再为该节点的标志域赋值为false,下一次再弹出该节点时就不再压入栈中 14 T = T -> rchild; 15 } 16 else { // 如果节点的标志域为false 17 cout << T -> data; // 此时是第三次访问该节点,可以输出该节点的值了 18 T = NULL; // 该节点的左右孩子都访问完了,我们把NULL赋值给T,在下一次的循环,去接收栈顶元素 19 } 20 } 21 } 22 }
2. 借助辅助指针last,last指向最近访问过的节点,也就是指向从栈顶弹出后,没有再被压入栈的那个节点。
用栈来存储节点时,按照先序遍历和中序遍历的非递归代码,节点只能被访问两次。而后序遍历的顺序是先访问左子树,再访问右子树,最后才访问根节点。所以我们应该分清除当一个根节点从栈顶弹出时,上一次从栈顶弹出的节点到底是它的左子树的根节点,还从它右子树的根节点。所以,可以用辅助指针last,来指向最近访问过的节点,看它是不是该节点右子树的根节点。如果是,就说明该节点的左右子树都已经访问完了,可以输出该节点的值了。
举个简单的例子:
1 void postOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 SNode *S = initStack(); 3 BinTNode *last = NULL; // last指向刚访问完的节点 4 while (T || !isEmpty(S)) { 5 if (T) { 6 push(S, T); 7 T = T -> left; 8 } 9 else { 10 T = pop(S); 11 if (T -> rchild && T -> rchild != last) { // 如果该根节点的右孩子不为空,并且该根节点的右孩子不是刚访问的那个节点(这意味着该根节点的右子树还没有访问,是从左子树返回到该根节点的) 12 push(S, T); // 再把该根节点压入,这样子当该节点再次被弹出时,已是被第三次访问了 13 T = T -> rchild; // 向下一次循环传入该根节点右子树的根节点 14 } 15 else { // 根节点的右孩子为空或者该根节点的右孩子就是刚访问的那个节点(这意味着该根节点的右子树已经被访问了,是从右子树返回到该根节点的) 16 cout << T -> data; // 第三次访问该节点,所以输出节点的值 17 last = T; // 因为该根节点被访问了,所以last指向该节点 18 T = NULL; // 由于该节点的左右孩子都访问完了,我们把NULL赋值给T,在下一次的循环,去接收栈顶元素 19 } 20 } 21 } 22 }
层次遍历
最后一个是层次遍历,它不是用栈来实现的,而是用队列来实现的。类似于图的广度优先搜索(BFS)。
因此,如果要用递归来实现层次遍历,这会是很困难的事情。这里就不讨论了。
下面给出层次遍历的代码:
1 void levelOrderTraversal(BinTNode *T) { 2 if (T == NULL) return; 3 4 QNode *Q = initQueue(); 5 push(Q, T); 6 while (!isEmpty(Q)) { 7 T = pop(S); 8 cout << T -> data; 9 10 if (T -> lchild) push(Q, T -> lchild); 11 if (T -> rchild) push(Q, T -> rchild); 12 } 13 }
参考资料
《数据结构:C语言版-第二版》
浙江大学——数据结构:https://www.icourse163.org/course/ZJU-93001?tid=1461682474
二叉树后序遍历的非递归实现:https://blog.csdn.net/u013161323/article/details/53925313