上一篇讨论的非阿基米德几何，其本质上已经与欧几里得几何没有太大差别，平面几何的大部分结论也都可以得证。本篇我们试图再度简化公理系统，并以此研究特定公理对平面几何性质的影响。试想，如果我们只讨论平面上的点线关系，公理\(I_{1\sim 2},II,IV\)似乎已经足够，因为\(I_{3\sim 6}\)是关于空间几何的、\(III\)则是关于线段和角的度量的。下面就来看看，这两组看似无关的公理，是如何影响到两个点线定理的。
1. 笛沙格几何
1.1 笛沙格定理
空间公理\(I_4,I_6\)似乎只为宣称空间的维度，直觉上只要我们愿意，一个平面几何总能自然地拓展到空间上去。当然事实却并非如此，单纯的平面公理还不能保证这样的平面可以成为空间的一部分（满足空间公理，且所以平面也满足平面公理），或者说空间公理\(I_4,I_6\)目前是不可缺少的。但其实如果再补充一些平面公理，空间公理就可以被定义和证明。在此之前，单纯的平行公理\(IV\)不方便、也并不足以讨论平行相关的论题，这里采用其增强版\(IV^*\)（之前依据合用公理可证得）。也就是说下面的讨论先基于公理\(I_{1\sim 3},I_5,II,IV^*\)（\(II_3\)包含了\(I_3,I_5\)）。
\(IV^*.\) （增强的平行公理）设直线\(a\)和其外一点\(A\)确定平面\(\alpha\)，则\(\alpha\)上有且仅有一条过\(A\)且不与\(a\)相交的直线。
上一篇的非阿基米德几何比这里多了合同公理，那里可以为平面内的点线建立解析方程。其实可以很容易将定义扩展到空间中，用3个线段\((x,y,z)\)定义点，用4个线段的比例\((u,v,w,r)\)定义面。方程（1）即表示点在面上，而两个方程的公共点定义为直线。由于方程的数系兼容有理数系，接下来就可以使用解析几何的方法论证所有公理的成立，包括空间公理。也就是说，非阿基米德几何是“可空间化”的。然而如果去掉合同公理，“可空间化”就不一定成立，为了举出反例，先要介绍一个“可空间化”的必要条件。
\[ux+vy+wz+r=0\tag{1}\]
在《射影几何》中（以后单独讨论），有个基本定理叫笛沙格定理（教材译作德沙格），只需用到公理\(I,II,IV^*\)，所以该定理是“可空间化”的必要条件。以下我们只用到笛沙格定理的简单情况，如下图该定理描述为：两个不共点不共线的三角形，如果三条边分别平行，则对应点连线交于一点；反之，如果对应点连线交于一点，且有两条边分别平行，则第三条边也平行。
现在来构造一个平面几何，它比非阿基米德几何少了合同公理\(III_6\)。在一般的欧几里得几何中（以下左图），选定一条垂直直线做为“轴线”，它将平面分为左右两侧。当直线穿过轴线时，如果左上侧的角为锐角\(\beta\)，则射线将折成锐角\(\alpha\)，且有\(\tan\beta=2\tan\alpha\)。这里其实定义了可能弯折的“直线”，它们的夹角被定义为右侧射线（原直线）的夹角。不难证明，这样的平面几何，只比非阿基米德几何少满足了公理\(III_6\)（请自行证明两点确定一线），然而它却不满足笛沙格定理（以下右图），所以不“可空间化”。
1.2 新的加法和乘法
反过来，我们需要回答：如果在平面几何中（\(I_{1\sim 3},I_5,II,IV^*\)）引入笛沙格定理（做为公理），这样的几何“可空间化”吗？和之前的思路一样，这里将建立线段的计算和方程，用把方程拓展到空间中的方法证明“可空间化”。先来看线段加法，由于没有合同公理，线段的迁移和计算变得困难。但如果只为建立坐标和方程，可以用平行线的特性做简化的迁移。具体来说，先选择两条相交于\(O\)的直线做“坐标轴”（以下左图），以下只讨论坐标轴上以\(O\)为端点的线段的计算。然后再选定某个方向的平行线簇，它们在两轴上截得的线段被视为“相等”的。其中\(O\)点本身代表0线段，选定一个单位线段并记作1，截得线段1的平行线叫“单位直线”。
对于线段\(a,b\)，把它们放到不同的轴上（本段论述与教材不同），分别引出两轴的平行线并交于点\(A\)（以上右图）。从\(A\)作单位直线的平行线，截两轴得到的线段定义为\(a+b\)，加法天然是满足交换律的。但这个定义还要检查其是否“良性”，即如果两个线段放置的轴交换一下，得到的和应该相同。如以下左图，设\(a,b\)两种放置得到的交点分别为\(C,C'\)，要证明的是\(CC'\mathop{//}AA'\)。先对\(\triangle OAA'\)和\(\triangle DB'B\)使用笛沙格定理，得到\(OED\)共线；再对\(\triangle EAA'\)和\(\triangle DCC'\)使用笛沙格定理，得到\(CC'\mathop{//}AA'\)。
这里要特别指出，针对某个轴上的线段加法，其实跟另一个轴、以及单位直线的选取都无关。比如以上右图，我们选择不同的第二条轴和单位直线，先用轴\(OD\)得到\(OC=a+b\)。对\(\triangle ODE\)和\(\triangle BFG\)使用笛沙格定理，得到\(DE\mathop{//}FG\)；再对\(\triangle ADE\)和\(\triangle CFG\)使用笛沙格定理，得到\(AE\mathop{//}CG\)。你如果明白了以上两段证明，加法结合律也不会有根本困难，请做为练习自行证明。
现在来定义线段乘法，受启发于欧几里得几何的比例关系，把1和\(b\)放在同一个轴、\(a\)放在另一个轴，平行线截得的线段定义为\(ab\)。当然，这里也要证明定义的“良性”，即\(a\)和\(1,b\)位置调一下，截得的\(D\)点应该满足\(DD'\mathop{//}AA'\)。对\(\triangle GBB'\)和\(\triangle FEE'\)使用笛沙格定理，得到\(OFG\)共线；再对\(\triangle GDD'\)和\(\triangle FAA'\)使用笛沙格定理，便得到\(DD'\mathop{//}AA'\)。接下来的乘法结合律、两个分配率也没有根本困难，请自行证明（注意单位直线对加法不重要）。特别强调一下，乘法定义里\(a,b\)的角色是不对称的，故乘法没有交换律。
1.3 笛沙格几何
以上我们在公理\(I_{1\sim 3},I_5,II,IV^*\)和笛沙格定理的条件下，定义了线段的加法和乘法，它们构成了一个非交换域（乘法不满足交换律）。为了进一步地构造数系，还需要定义线段大小，这一点只要在坐标轴上规定好方向即可（以\(O\)为参考）。假设\(a>b,c>0\)，还需要证明\(a+c>b+c\)和\(ac>bc\)，详细的讨论是通过顺序公理的一些引理获得的，这里仅叙述一下引理的内容，请自行补全证明。引理包括（以下左图）：一组平行线在两坐标轴上截得的点（投影）的顺序是相同的；一个轴上两点\(A,B\)到另一轴的两组投影\(A',B'\)和\(A'',B''\)满足：\(A'',B''\)分别在\(A',B'\)的相同侧。最终建立起来的数系称为笛沙格数系。
有了数系就能建立坐标系。首先在平面上（以上右图），把空间任意一点\(P\)在两轴的投影定义为它的坐标\((x,y)\)，假设\(P\)所在直线\(l\)截\(y\)轴的线段为\(m\)，以及\(l\)的“斜率”为\(k\)。不难由加法定义得到\(kx+y=m\)，它就是直线的解析方程（直线上所有点都满足）。反之对于任意方程\(ax+by=c\)，两边同时左乘\(b^{-1}\)也能得到格式\(kx+y=c\)，故\(ax+by=c\)总能表示一条直线。建立坐标系的意义在于，以数系建立方程，并将之对应成"点线面”的定义，反过来用解析函数验证公理的成立，使得论证代数化、流程化。
在空间上，同样用三个线段\((x,y,z)\)定义点，用方程（1）定义平面，以平面的公共点定义直线。由于笛沙格数系没有交换律，不能完全按有理数域的解析方程论证公理\(I,II,IV^*\)，但也不会有根本困难，请参考教材注解部分。结论就是：笛沙格数系建立的几何满足公理\(I,II,IV^*\)，也即笛沙格定理是公理\(I_{1\sim 3},I_5,II,IV^*\)“可空间化”的充要条件。
2. 帕斯卡几何
本篇我们彻底抛开了合同公理，建立起笛沙格数系及其几何，这样的几何只讨论点线面的位置关系（射影几何）。细心的你可能发现，上篇中的帕斯卡定理其实也只关系到点线的位置关系，那么它是否可以脱离合同公理而存在呢？它与笛沙格定理的关系又是什么呢？由于笛沙格定理是\(I,II,IV^*\)的直接推论，以下我们把笛沙格几何（只需满足\(I,II,IV^*\)）作为基本的几何空间，讨论帕斯卡定理成立的条件。先由下图可知，帕斯卡定理本质上等价于乘法交换律。而笛沙格数系是非交换域，教材上也构造出了一个非交换域，其中乘法不满足交换律。所以帕斯卡定理不能在笛沙格几何中直接得出，它依赖乘法交换律的成立。
如果我们不想把乘法交换律纳入公理系统，其实还有一个更便捷的出路，那就是阿基米德公理\(V_1\)。当然在没有合同公理的情况下，需要借助线段的加法定义重新描述公理如下。现在要证明的是，当\(V_1^*\)成立时，乘法交换律（帕斯卡定理）也成立。首先容易证明对整数\(n\)，乘法交换律是成立的（转化为加法）。选定线段\(a>0,b>0\)，则对任意\(d>0\)总存在整数\(m,n\)使得式（2）成立，整理可有式（3）成立。由于\(d\)可以任意取，式（3）左侧就可以任意“小”而不得不为0（反证法），从而乘法交换律恒成立。所以这里的结论就是：笛沙格几何中如果引入公理\(V_1^*\)，也能得到帕斯卡定理。
\(V_1^*.\) （基于加法的阿基米德公理）给定直线上的线段\(a,b\)（以固定点\(O\)为起点），则总存在整数\(n\)使得\(na<b\leqslant(n+1)a\)。
\[md<a\leqslant(m+1)d;\;nd<b\leqslant(n+1)d\tag{2}\]
\[ab-ba<(m+n+1)d^2<(a+b+1)d\tag{3}\]
但以上论述，其实还不足以说明：帕斯卡定理要强于笛沙格定理（不同于上一篇有合同公理的场景），现在就来补齐这最后一块。还是先基于平面公理\(I_{1\sim 3},I_5,II,IV^*\)，假设帕斯卡定理成立，下图有条件\(AB\mathop{//}A'B',AC\mathop{//}A'C'\)。过\(A\)作\(OB\)的平行线，其它点线自行生成（特殊情况请另外证明）。先对\(A'B'O-FAD\)使用帕斯卡定理，得到\(OF\mathop{//}A'D\)；继而分别对\(BOF-EAC\)和\(B'OF-EDC'\)使用帕斯卡定理，得到\(FE\mathop{//}BC\)和\(FE\mathop{//}B'C'\)。从而\(BC\mathop{//}B'C'\)，笛沙格定理成立。
由此我们知道，帕斯卡定理比笛沙格定理更强，可以把满足\(I,II,IV^*\)和帕斯卡定理的几何定义为帕斯卡几何。帕斯卡几何的数域兼容有理数域，由此能表示所有仅包含点线面关系的几何问题，其中任何问题的证明，都可以由一系列帕斯卡定理完成！这个结论称为交点定理。