希尔伯特的五组几何公理，描述了一个与欧几里得空间等价的几何空间，然而这套公理的价值远非如此。它的目的更在于分离出几何空间中最本质的内涵，对其精简分类，以突出每一个内涵的价值。所以到此为止，几何系统的讨论非但没有结束，而是才刚刚开始。在前几篇的定理讨论中，我们明确了这样一个事实：每个定理的成立都有其依赖的最小公理集。解析每个定理背后的公理，而不是在整个系统中讨论，更能洞察出定理的本质是什么。
1. 比例论
1.1 帕斯卡定理
上篇的最后我们提到过，公理\(V\)（连续公理）更多地是为了向欧几里得空间收敛，它在一般几何空间的讨论中是经常被忽略的。本篇就试图在公理\(V\)缺席的情况下（非阿基米德几何），继续讨论线段的比例和图形的面积，以展示：这两个概念是几何空间的内在属性，而非一定要依赖于实数系统。由于讨论范围限定在一个平面之中（平面几何），这里暂时也可以先拿掉空间公理\(I_{3\sim 6}\)，也就是说本篇的讨论仅基于公理\(I_{1\sim 2},II\sim IV\)。其实公理\(II_3\)包含了空间公理中的\(I_3,I_5\)，所以真正去除的只是宣称空间维度的\(I_4,I_6\)。
不论是线段比例还是图形面积，都避不开线段“乘法”的定义，为了不使用实数系统，这里先要用线段定义出“线段乘法”。而合适的定义要基于一个众所周知的定理：帕斯卡定理（教材译作巴斯噶），它的内容如下：有两条相交直线，记\(A,B,C\)和\(A',B',C'\)分别是两条线上的点，它们都不是交点且有\(AB'\mathop{//}A'B,\,AC'\mathop{//}A'C\)，则一定有\(BC'\mathop{//}B'C\)。注意，该定理并不要求三点在交点的同一侧，你可以画出完全不同于以下左图的情况。
在欧几里得空间，由平行关系得到有向线段积\(OA\cdot OA'=OB\cdot OB'\)和\(OA\cdot OA'=OC\cdot OC'\)，再有\(OB\cdot OB'=OC\cdot OC'\)并得到\(BC'\mathop{//}B'C\)。教材上使用了类似的思路，但是为了避开比例计算，借助全等判定定理定义了边角的“乘法关系”，具体细节这里就不展开了。有意思的是，书中还提到，帕斯卡定理可以只依赖公理\(I\sim III\)便得以证明，也即加入空间公理、去除平行公理。希尔伯特的证明中，使用到四点共圆的性质，而这依赖于平行公理（对三点在交点一侧的简化证明，更是反复使用了四点共圆）。
1.2 乘法和比例
现在来定义由线段组成的“代数系统”，以在没有实数系统的情况下定义比例和面积。首先把线段合同定义为元素的“相等”，线段的拼接定义为元素的“加法”，线段的大小定义为元素的“大小”。不难证明这些元素（线段）满足交换律和结合律，任何单点线段就是零元（记作0）。定义乘法时，先要规定好单位线段（记作1），然后把\(1,a,b\)如上右图迁移到一个直角上，平行线在一边截取的线段定义为乘法\(ab\)。这个定义同样启发于欧几里得几何的相似比例，定义方法非常自然，1显然也符合单位元的性质（\(1a=a1=a\)）。
接下来要小心求证乘法的交换律和结合律，它们并不是天然成立的，但证明过程并不复杂。先是如下左图，根据帕斯卡定理证得红线平行，从而\(ab\)的端点就是\(ba\)的端点，即\(ab=ba\)。然后考察以下右图，根据交换律和帕斯卡定理证得红线平行，从而\((ab)c=a(bc)\)。最后还有乘法加法分配律，通过线段的迁移和图形相等定理可以轻松得到（请自行画图作证）。有了乘法，反向也可以定义除法，\(a/b\)定义为满足\(a=bc\)的唯一线段\(c\)。
如果\(a/b=a'/b'\)，也称它们是成比例的，记作\(a:b=a':b'\)。假设比值为\(e\)，则有\(a=eb,a'=eb'\)，不难得到\(ab'=a'b\)。反之由\(ab'=a'b\)也可证\(a:b=a':b'\)和\(a:a'=b:b'\)，总结为式（1）。有了成比例的概念，就可以讨论三角形相似了，一般把三个角都相等（合同）的两个三角形称为相似的。由于乘法是在直角上定义的，只能先讨论相似直角三角形，如下左图，不难证明两条直角边是成比例的\(a:b=a':b'\)。对于一般三角形，先如下右图作出角平分线和垂线，分成的6个直角三角形都对应相似，从而容易有三角形三边成比例\(a:a'=b:b'=c:c'\)。
\[a:b=a':b'\;\Leftrightarrow\;ab'=a'b\tag{1}\]
这时我们再看乘法的定义，那个直角的要求是必需的，因为当时无法得知任意角上得到的“乘积”线段都是合同的。然而现在根据相似三角形的成比例性质可知，平行线在任意角上截下的线段都是是成比例的。也就是说，构造乘积线段时，再也不必须在直角上了。平行线截成比例线段的结论，还说明成比例并不依赖线段1的选取，它是图形的内在性质。为此教材的补篇II中，直接用平行线截直角的方法定义成比例，也能完整获得相似三角形的性质。
最后，如果想在这样的几何空间中定义笛卡尔坐标，就要对直线区分“正负”方向，也就是规定正负线段。这时线段的代数系统才能成为一个完整的“域”，并进行加减乘除的运算。建立平面坐标的方法也符合直观，指定两条垂直的有向直线（坐标轴），平面上任意一点的坐标定义为：点到坐标轴的垂线段\((Ox,Oy)\)（有向线段）。过原点\(O\)的直线上\(l\)任意一点满足\(x:y=a:b\)（下图），也即\(bx-ay=0\)，它便是直线的方程。当然也容易有任意直线\l'\)的方程：\(bx-ay-c=0\)，注意这里都还是线段运算，而非实数方程。
2. 图形面积
2.1 剖分相等、拼补相等
有了相似和比例的概念，自然就有了图形“大小”的概念，也就是这里要讨论的面积。但仅通过相似能得到的面积关系十分有限，这里以三角形为基本图形，通过合同的组合（简单加减法）讨论多边形的面积。当然这里的“多边形“”和“图形分割”也是需要严谨定义，请参考课本讨论，这里略去不述。还有在给出“面积相等”的定义时，在表述上一定要严谨，不能把直觉看作当然。首先因为用到三角形合同，就一定要合同公理在场，即使最终面积写成了线段乘法（乘法不一定要合同）。其次因为没有连续公理，做三角形的拆分、拼接时都只讨论有限个三角形的情况。
拆分和拼接看上去只是简单的加减法，但定义“面积相等”时，还不能天然地将它们混用。先定义单纯一些的拆分相等，即如果两个多边形可以拆分为有限个相互合同的三角形，那它们称为剖分相等的。这个定义十分自然，但要注意相等的传递性并不显然，需要展开讨论。假定多边形\(P_3\)分别和\(P_1,P_2\)剖分相等，也即\(P_3\)有两种三角形分割集\(\mathbf{T_1},\mathbf{T_2}\)，它们分别可以组合成\(P_1,P_2\)。把\(\mathbf{T_1},\mathbf{T_2}\)都叠放在\(P_3\)中，将得到更碎小的多边形，可以把它们全部分割成三角形，得到分割集\(\mathbf{T_3}\)。显然\(\mathbf{T_3}\)就是\(P_1,P_2\)的一个共同分解，所以\(P_1,P_2\)剖分相等，剖分相等的传递性成立。
一个比较简单的剖分相等的例子是如下左图的\(\triangle ABC\)和平行四边形\(ABFD\)，由此三角形和平行四边形可以在剖分相等的意义上相互替代。然而在试图分割一些简单的图形时，就会发现剖分相等非常局限，很难发挥作用。书上举了一个有趣的例子（如下右图）,看似两个同底等高的平行四边形总可以剖分相等，但这个直觉论证中却引入了阿基米德公理。该公理不成立时（本篇不使用连续公理），可以成功举出反例。
反例来自下图两个同底等高的三角形（等价于对应平行四边形的讨论），其中\(\angle CAB,\angle DEB\)都为直角，线段\(AE=a\)总有\(a>ne\)（非阿基米德几何）。如果\(\triangle ABC\)和\(\triangle ABD\)剖分相等，考察所有分解三角形的周长之和\[(S\)。放在\(\triangle ABC\)里看，\(S\)不会超过\(e\)的有限倍（要用到三角形两边之和大于第三边，以及三角形内部线段不大于三角形最长边，请自行论证）。然而放在\(\triangle ABD\)里看，\(S\)一定大于\(AD\)，继而\(S>a>ne\)，导出矛盾。
现在把剖分相等的概念拓展一下，如果两个多边形拼接上有限个相互合同的三角形后是剖分相等的，那么它们称为拼补相等的。拼补相等也需要证明传递性，过程略显繁琐，但基本原理和剖分相等类似。显然拼补相等包含了剖分相等（补上0个三角形），然而反直觉的是，拼补相等并不一定剖分相等。比如从下图可知，同底等高的平行四边形总是拼补相等的，从而同底等高的三角形也拼补相等，然而上图的反例则说明它们可能不剖分相等。以下面积讨论，一般都基于更宽泛的拼补相等。
在继续讨论多边形面积的度量（量化和比较）之前，先来看一个基础结论。首先对于任意三角形，它总可以和一个直角三角形拼补相等；以下左图说明，任何直角\(\triangle ABC\)都与某个“股1”的直角\(\triangle ABD\)拼补相等。从而任意三角形都与某个“股1”的直角三角形拼补相等，继而也有任意多边形都与某个“股1”的直角三角形拼补相等。但要特别注意，这个结论只是说相等存在，并没有说明唯一性和排它性，所以我们还不能把图形面积的比较转化为线段的比较。具体来说，还需要回答：底边相同的两个拼补相等的三角形，它们的高一定相等吗？
2.2 面积的度量
为此我们要找到多边形面积的唯一“度量”。考察\(\triangle ABC\)及其两个高\(AD,BE\)（以上右图），易证\(\triangle ADC\sim\triangle BEC\)，从而有\(AC\cdot BE=BC\cdot AD\)。也就是我们所熟知的结论：三角形任意底边和其上的高的乘积是固定的，按照习惯可以把底高乘积的一半（线段）作为三角形面积的度量。对于一般多边形（包括三角形），可以分解为若干三角形，多边形面积的度量自然应当是这些小三角形面积的度量之和。但请注意，这里出现了线段的代数运算，而且需要证明：不同分割方法下得到的面积度量是一致的。
为了解决以上问题，需要给面积度量定好“方向”，直观地说就是给图形或平面规定正反面。我们知道一条直线把平面分成了两部分，如果要区分这两部分，需要给直线规定方向，以及从人的角度规定左侧和右侧，这样的规定在直觉上就是给平面规定了正反面。而且在这样的规定下，其它任何有向直线的左右测也可以被唯一指出，而不会出现矛盾（不协调），请自行证明。当人“俯瞰”正平面时（直线方向和左右侧符合人体方向），逆时针描述的面积度量\(s=[ABC]\)（内点在有向线段\(AB,BC,CA\)左侧），称为正周向面积度量，反之\(-s=[ACB]\)称为负周向面积度量。
下面看有向面积度量的性质。首先如下左图，根据乘积的定义和分配率有\([ABC]=[ABD]+[ADC]\)，由此不难证明对\(\triangle ABC\)外任意点\(O\)（以下右图），恒有式（1）成立。我们据此来考察任意\(\triangle ABC\)分割成的小三角形的正周向面积度量之和，取多边形外一点\(O\)，度量之和又被分解为若干\([OXY]\)之和。如果\(XY\)在三角形边上，它只被使用一次；而如果\(XY\)在三角形内部，它会被使用两次且一定方向相反，所以和值相互抵消。也就是说最终的面积度量之和，总还是\([ABC]\)。对于多边形的面积度量，自然是用分割后的三角形面积度量之和，如果有多种分割方法，类似剖分相等传递性的证明，也可知多边形面积度量的唯一性。
\[[ABC]=[OAB]+[OBC]+[OCA]\tag{1}\]
最后，根据多边形面积度量的唯一性，不难推断出拼补相等（包含剖分相等）的两个多边形，其面积度量也是相等的。这时回到上面的问题，两个同底\(a\)且拼补相等的三角形，由于面积度量相等\(ah/2=ah'/2\)，自然得到高相等\(h=h'\)。这就是说，任何多边形对应的“股1”直角三角形（拼补相等）都是唯一的。如果两个多边形的面积度量相等，它们对应的“股1”直角三角形就一样，所以这两个多边形又是拼补相等的。欧几里得几何中的直观描述是：面积相等的两个多边形一定可以分成若干全等的三角形。