波动率模型
什么是波动率？
波动率指的是资产价格的波动强弱程度，类似于概率论中随机变量标准差的概念。波动率不能直接观测，可以从资产收益率中看出波动率的一些特征。
为建立波动率随时间变化的一般模型，我们定义波动率是收益率的条件标准差。设 \(r_t\) 是某种资产在 \(t\) 时刻的基于某时间单位的对数收益率，一般认为 \(\{r_t\}\) 序列是前后不相关的或低阶自相关的，但不是前后独立的时间序列。
一元波动率模型就是试图刻画收益率这种本身不相关或低阶自相关，但前后不独立的模型。用 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示截止到 \(t-1\) 时刻的收益率的全部历史信息，尤其是包括这些收益率的线性组合。考虑 \(r_t\) 在 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 条件下的条件均值和条件方差：
\[\mu_t={\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \ \ \ \ \sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ .\]
可以将 \(r_t\) 分解为：
\[r_t=\mu_t+a_t \ ,\]
其中 \(\{a_t\}\) 为不相关的白噪声序列，这里我们对白噪声序列假设 \({\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0\) 。这个条件比不相关零均值白噪声序列的条件要强一些。综合以上条件，可以有
\[\sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm Var}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(a_t^2|\mathcal{F}_{t-1}) \ .\]
这里的 \(\sigma_t\) 就是波动率，是收益率的条件标准差。
如果假设模型中的白噪声 \(\{a_t\}\) 是独立序列， 则 \(\sigma_t^2\equiv\sigma^2\) ，波动率就没有建模的可能。但是实际上，假定 \(\{a_t\}\) 是零均值不相关的白噪声，满足 \({\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0\) ，但并不是独立序列。
波动率模型的主要问题就是对 \(\sigma_t^2\) 建模，这种模型叫做条件异方差模型。将收益率 \(r_t\) 分解后，有
\[a_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ ,\]
称 \(\{a_t\}\) 为资产收益率 \(\{r_t\}\) 在 \(t\) 时刻的新息。\(\sigma_t^2\) 的模型称为 \(\{r_t\}\) 的波动率方程。
\({\rm ARCH}\) 模型引入
自回归条件异方差模型，简称为 \({\rm ARCH}\) 模型。这是我们将波动率定义为条件标准差之后，第一次提出的波动率的理论模型。
我们通常意义上考虑的异方差问题，是指在一个静态模型中，随机误差项的方差取决于模型中的解释变量。然而在时间序列模型中，我们还需要对异方差的动态形式加以考虑。即使不存在通常意义上的异方差，随机误差项的方差还可能取决于时间序列在以前时期的波动程度。我们用条件方差来理解这一问题。
考虑一个简单静态模型
\[y_t=\beta_0+\beta_1x_t+u_t \ ,\]
如果该模型满足时间序列模型假设 TS.1-TS.5，则显然 OLS 估计量仍然是 BLUE 的。这里的同方差假设指的是 \({\rm Var}(u_t|X)\) 是一个常数。但如果改变条件，还可能存在其他形式的异方差：
\[{\rm Var}(u_t|X,u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|X,u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ ,\]
这就是一阶自回归条件异方差模型。
一般地，我们省略解释变量条件，将 \({\rm ARCH}(1)\) 模型写为
\[{\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ .\]
\({\rm ARCH}(1)\) 模型
建立 \({\rm ARCH}\) 模型考虑了两个基本思想：
(1) 随机扰动序列 \(u_t\) 是前后不相关的，但不独立的。
(2) 序列 \(u_t\) 的不独立性可以描述为基于历史信息的条件方差 \({\rm Var}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})\) 可以用二次项序列 \(u_t^2\) 的滞后项的线性组合表示。
其中 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 指的是 \(t-1\) 期的全部信息。
在 Wooldridge 的《计量经济学导论》中，将 \({\rm ARCH}(1)\) 模型近似设定为
\[u_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+v_t \ , \ \ \ \ v_t\sim{\rm WN}(0,\,\sigma_0^2) \ .\]
由于条件方差恒正，因此在这个模型中，只有当 \(\alpha_0>0\) 且 \(\alpha_1>0\) 时该模型是有具有动态意义的。
更加广为使用的 \({\rm ARCH}(1)\) 模型是 Tsay 在《金融时间序列分析》中给出的模型设定：
\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,\]
\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ ,\]
其中 \(\{\varepsilon_t\}\) 是零均值标准方差的独立同分布白噪声 \({\rm WN}(0,\,1)\)
首先求解条件方差：
\[{\rm Var}(u_t|u_{t-1})={\rm E}(u_t^2|u_{t-1})=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)=\sigma_t^2\]
接着求解无条件方差：
\[\begin{aligned} {\rm Var}(u_t)&={\rm E}(u_t^2)={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma^2_t{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\ &={\rm E}(\sigma_t^2)={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2)=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)\ .\end{aligned}\]
由于 \(\{u_t\}\) 是一个零均值平稳序列，有 \({\rm E}(u_t)=0\) 和 \({\rm Var}(u_t)={\rm Var}(u_{t-1})\) ，因此
\[{\rm Var}(u_t)=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t-1})=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t}) \ ,\]
进而有
\[{\rm Var}(u_t)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1} \ .\]
这里要求 \(0<\alpha_1<1\)
\({\rm ARCH}(m)\) 模型
进而我们将模型扩展为一般的 \({\rm ARCH}(m)\) 模型，首先给出模型设定：
\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,\]
\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2\]
其中 \(\{\varepsilon_t\}\) 是零均值标准方差的独立同分布白噪声 \({\rm WN}(0,\,1)\) ，并且 \(\alpha_0>0\ ,\ \alpha_j\geq0\ ,\ j=1,2,\cdots,m\) 。一般假设为标准正态分布或是标准化的 \(t\) 分布。
另外 \(\{\alpha_j\}\) 还需要满足使得 \({\rm Var}(u_t)\) 有限的条件，类似于 \({\rm AR}(p)\) 序列的平稳性的特征根条件，并且
\[\sum_{j=1}^m\alpha_j<1\ .\]
模型设定中的第二个方程被称为波动率方程。由于该方程的右侧仅出现了截止到 \(t-1\) 时刻的确定性函数而没有新增的随机扰动，所以称 \({\rm ARCH}\) 模型为确定性的波动率模型。
设 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示 \(t-1\) 期的全部历史信息，由 \(\{\varepsilon_t\}\) 的独立性知 \(\{\varepsilon_t\}\) 和 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 独立。
类似于 \({\rm ARCH}(1)\) 模型的无条件方差，可以利用全期望公式计算得到 \({\rm ARCH}(m)\) 模型的无条件方差如下：
首先计算条件方差
\[\begin{aligned}{\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)&={\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\&=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\&=\sigma_t^2\end{aligned}\]
进而计算无条件方差
\[\begin{aligned}{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)\right] \\&={\rm E}(\sigma_t^2) \\&={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2) \\&=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\cdots+\alpha_m{\rm E}(u_{t-m}^2)\ .\end{aligned}\]
由 \(\{u_t\}\) 的平稳性 \({\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)=\cdots={\rm E}(u_{t-m}^2)\) 可以解得
\[{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\displaystyle\sum_{j=1}^m\alpha_j} \ .\]
以上就是常用的 \({\rm ARCH}\) 模型的性质。但我们也会发现 \({\rm ARCH}(m)\) 模型的具有如下缺点：模型中引入的都是扰动项 \(u_t\) 的平方项，因此恒为正值，没有考虑正、负扰动对于波动率的不对称影响。此外，\({\rm ARCH}\) 模型不能提供更多信息来帮助理解方程的来源，仅仅提供一种方法来描述条件方差是如何变化的。
\({\rm GARCH}\) 模型引入和模型设定
在之前的介绍中，\({\rm ARCH}\) 模型用来描述波动率能得到很好的效果，但实际建模时可能需要较高的阶数。提出了ARCH模型的一种重要推广模型，称为 \({\rm GARCH}\) 模型。
Tsay 在《金融时间序列分析》一书中引入了对数收益率 \(r_t\) 的概念。事实上，对于一个对数收益率 \(r_t\) 的新息序列
\[u_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ ,\]
常常用 \({\rm GARCH}\) 模型来刻画 \(\{u_t\}\) 序列的性质。下面给出一般情况下 \({\rm GARCH}(m,\,s)\) 的模型设定：
\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,\]
\[\sigma_t^2=\alpha_0+\sum_{i=1}^m\alpha_iu_{t-i}^2+\sum_{j=1}^s\beta_j\sigma_{t-j}^2 \ ,\]
其中，\(\{\varepsilon_t\}\) 为零均值单位方差的独立同分布白噪声序列，\(\alpha_0>0\ , \ \alpha_i\geq0\ , \ \beta_j\geq0\) ，并且
\[0<\sum_{i=1}^m\alpha_i+\sum_{j=1}^s\beta_j<1\]
这个条件用来保证满足模型的的 \(u_t\) 无条件方差有限且不变，而条件方差 \(\sigma_t^2\) 可以随时间 \(t\) 的变化而变化。
\({\rm GARCH}(1,\,1)\) 模型
下面以最简单的 \({\rm GARCH}(1,\,1)\) 模型为例研究 \({\rm GARCH}\) 模型的性质。依然定义 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示截止到 \(t-1\) 时刻的 \(u_{t-i}\) 和 \(\sigma_{t-j}\) 所包含的全部历史信息。首先写出模型设定：
\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \ \ \ \ \varepsilon_t\sim{\rm i.i.d.}\,{\rm WN}(0,\,1)\ ,\]
\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\ ,\]
计算出条件期望：
\[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(\sigma_t\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=\sigma_t{\rm E}(\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=0 \ .\]
这里利用了 \(\sigma_t\in\mathcal{F}_{t-1}\) 和 \(\varepsilon_t\) 与 \(\mathcal{F}\) 独立。
进而计算无条件期望
\[{\rm E}(u_t)={\rm E}[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})]=0 \ .\]
即 \({\rm GARCH}\) 模型的新息 \(u_t\) 的无条件期望为零。
最后利用全期望公式计算无条件方差，假设 \(\{u_t\}\) 序列存在严平稳解，则有
\[\begin{aligned}{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[{\rm E}(\sigma_t^2\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right] \\\\&={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\\\&={\rm E}\left[\sigma_t^2\right]={\rm E}\left[\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\right] \\\\&=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\beta_1{\rm E}(\sigma_{t-1}^2) \\\\&=\alpha_0+(\alpha_1+\beta_1){\rm E}(u_{t-1}^2)\ .\end{aligned}\]
由 \({\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)\) 解得
\[{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1} \ .\]
\({\rm GARCH}(1,\,1)\) 预测波动率示例
首先写出利用截止到 \(h\) 时刻的观测值作一步预测的波动率模型：
\[\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2\in\mathcal{F}_h \ .\]
因此有数学期望
\[\sigma_h^2(1)={\rm E}(\sigma^2_{h+1}|\mathcal{F}_h)=\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2 \ .\]
这说明对未来波动率的一步预测可以利用波动率模型直接给出。
继续计算两步预测：
利用 \(u_t=\sigma_t\varepsilon_t\) 化简 \(\sigma_{h+2}^2\) :
\[\begin{aligned} \sigma_{h+2}^2&=\alpha_0+\alpha_1u_{h+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\ \\ &=\alpha_0+\alpha_1\sigma_{h+1}^2\varepsilon_{j+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\ \\ &=\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2 \ .\end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \sigma_h^2(2)&={\rm E}(\sigma^2_{h+2}|\mathcal{F}_h) \\ \\ &={\rm E}\left[\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2|\mathcal{F}_h\right] \\ \\ &=\alpha_0+{\rm E}\left[\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1|\mathcal{F}_h\right]\sigma_h^2(1) \\ \\ &=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(1) \ .\end{aligned}\]
类似地，可以求得递推预测公式：
\[\sigma_h^2(l)=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(l-1) \ ,\]
迭代计算得
\[\sigma_h^2(l)=\frac{\alpha_0\left[1-(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\right]}{1-(\alpha_1+\beta_1)}+(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\sigma_h^2(1) \ ,\]
当 \(l\to\infty\) 时，有
\[\sigma_h^2(l)\to\frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\beta_1)}={\rm Var}(u_t) \ .\]
即波动率的多步条件方差预测趋于的 \(u_t\) 的无条件方差。
和 \({\rm ARCH}\) 模型类似，使用 \({\rm GARCH}\) 模型对于收益率的正负不对称性仍然无法反映。