对于升学面试，感觉属于 高频考点了。
1 概念比较
- 定义：
- 等价：矩阵 A 可通过初等变换得到矩阵 B，即存在 P Q 可逆，使得 PAQ = B。
- 相似：存在矩阵 P 可逆，使得 \(P^{-1}AP=B\)。
- 合同：存在矩阵 P 可逆，使得 \(P^TAP=B\)。
- 前置条件：
- 等价：是矩阵就行，长宽可以不相等。
- 相似：方阵。
- 合同：方阵，通常来说 实对称矩阵（\(A^T=A\)）。
- 充要条件：
- 等价：秩相等，r(A) = r(B)。
- 相似：A 和 B 有相同的 Jordan 标准型。在部分简单教材中，简化为 A B 相似于同一个对角阵。
- 合同：两个实对称矩阵 A B，正惯性指数 负惯性指数 相等。
- 充要条件的证明思路：
- 等价：秩相等的两个矩阵，都可以初等变换为 \(U=\left(\begin{array} & E_r & O \\O & O \end{array}\right)_{m\cross n}\) 的形式。PAQ = U、RBS = U，则 \([R^{-1}P]A[QS^{-1}] = B\)。
- 相似：\(P^{-1}AP=\Lambda\)、\(R^{-1}BR=\Lambda\)，则 \([PR^{-1}]^{-1}A[PR^{-1}]=B\)。
- 合同：
- 首先，因为 A 是实对称矩阵，所以有 \(Q^TAQ=\Lambda\)，其中 Q 是正交矩阵（\(Q^TQ=E\)）。
- 设 \(\Lambda=\left(\begin{array}&\lambda_1&& \\ &\ddots& \\ &&\lambda_n \end{array}\right)\)，\(C=\left(\begin{array}&E_p&& \\ &-E_q& \\ &&O \end{array}\right)\)，易知可以通过 1. 元素为 1/λ 的对角阵 + 2. 交换行列，将 \(\Lambda\) 化为 C 的形式，即 \(P^TAP=C\)。
- 同样，B 是实对称矩阵，有 \(R^TBR=C\)，则 \([QR^{-1}]^TA~[QR^{-1}]=B\)。
2 奇妙性质
- 初等变换的奇妙性质：
- 可以通过对分块矩阵 (A, E) 施加初等行变换，得到 \((E, A^{-1})\)，用来求方阵逆矩阵。
- 相似的奇妙性质：
- 两个相似矩阵，所有特征值相等、行列式相等、秩相等、迹（对角线元素求和）相等。简记为【 D 等 r 等 tr 等 】。
- 特征值相乘 = 原矩阵的行列式（相似矩阵 D 相等）。特征值相加 = 原矩阵的迹（相似矩阵 tr 相等）。
- 迹（trace）的奇妙性质：
- tr(A+B) = tr(A) + tr(B)，tr(AB) = tr(BA)。
- 等价 / 相似 / 合同 标准型的奇妙比较：
- 等价标准型：\(\left(\begin{array}&E_r& \\ &O \end{array}\right)\)。
- 相似标准型：Jordan 标准型 \(\left(\begin{array}&J_{\lambda_1}&& \\ &\ddots& \\ &&J_{\lambda_n}\end{array}\right)\) / 对角矩阵 \(\left(\begin{array}&\lambda_1&& \\ &\ddots& \\ &&\lambda_n \end{array}\right)\)。
- 合同标准型：\(\left(\begin{array}&E_p&& \\ &-E_q& \\ &&O \end{array}\right)\)。