【剑指Offer】跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

解法1

首先对这道题，我们可以通过找规律来解
一只青蛙可以跳上1级台阶，也可以跳上2两级台阶
当n = 1时，有1种跳法
当n = 2时，有2种跳法
当n = 3时，有3种跳法
当n = 4时，有5种跳法
当n = 5时，有8种跳法
...
等等，1，2，3，5，8...，多么熟悉的数列，斐波那契？
仔细想想当有n(n >= 2)级台阶时，求F(n)
青蛙第一步可以选择跳上1级台阶，则还剩n - 1级台阶需要跳，即F(n - 1)
青蛙第一步也可以选择跳上2级台阶，则还剩n - 2级台阶需要跳，即F(n - 2)
则总的跳法F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，毫无疑问这就是斐波那契数列的定义了。
关于斐波那契的求解方法，读者可以参考【剑指Offer】斐波那契数列，包括了递归，动态规范，矩阵快速幂多种解法，这里就不再赘述了。
下面放上以求解斐波那契数列的方式解题的其中一种写法。

实现代码

public int jumpFloor(int number)
{
    int f1 = 0;
    int f2 = 1;
    while (number-- > 0)
    {
        f2 = f1 + f2;
        f1 = f2 - f1;
    }
    return f2;
}

排列组合

网上大多数的解法都是以求解斐波那契数列的思路来解题，但其实使用排列组合的思想也可以求解（真相是一开始没发现是斐波那契，才想到排列组合的-_-||）。
解题前先简单介绍下排列组合，摘自百度百科

• 排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m）表示。
  \[A{^m_n} = n * (n - 1) * (n-2) * ... * (n-m+1) = \frac{n * (n - 1) * (n - 2) * (n - m + 1) * (n - m) * ... * 2 * 1}{(n - m) * (n - m - 1) * (n - m - 2) * ... * 2 * 1} \]
  \[A{^m_n} = \frac{n!}{(n - m)!}\]
  其中n!表示n的阶乘，比如4! = 4 * 3 * 2 * 1
  对于\[A{^m_n} = n * (n - 1) * (n-2) * ... * (n-m+1)\]可以这样理解，当从n个元素中取第一个元素时，有n种取法。当再取第2个元素时，此时还剩n - 1个元素，有n - 1种取法。当再取第3个元素时，此时还剩n - 2个元素，有n - 2种取法。以此类推，当取到第m个元素时，此时还剩n - m + 1个元素，有n - m + 1种取法。则总取法为\[n * (n - 1) * (n-2) * ... * (n-m+1)\]
• 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m) 表示。
  \[C{^m_n} = \frac{A{^m_n}}{m!} = \frac{n!}{(n - m)!m!}\]
  排列和组合的区别可以先简单理解为，从n个不同元素中，任取m个元素，有多少种取法，如果这m个元素的先后顺序不同，就认为是不同的取法的话，那么总取法数就是排列数A(n,m）。如果取出来的m个元素无论先后顺序如何，都认为是同一种取法，那么总取法数就是组合数C(n,m)。举个栗子，在{1，2，3，4，5}中任取三个数{2， 4， 5}或者{5，2，4}，对于排列数来说，它们属于2种取法，而对于组合数来说它们只算1种取法。
  可以发现，排列和组合的区别在于取出来的这m个元素是否有顺序性。当有顺序性时，这m个元素有A(m,m）种排列顺序，所以排列数A(n,m）除以A(m,m）,去除m个元素顺序性的影响，得到的就是组合数C(n,m)，即
  \[C{^m_n} =\frac{A{^m_n}}{A{^m_m}} =\frac{A{^m_n}}{m!} \]

解法2

回到本题，青蛙可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶，
对于n级台阶来说，它最多可以跳 n/2 次 2 级台阶，也就是说总的跳法数是跳0次2级台阶跳法数，1次2级台阶跳法数，2次2级台阶跳法数 ... n/2 次2级台阶跳法数的总和
现在问题就变成了求跳指定次数2级台阶的跳法数
假设有n级台阶，指定要跳m次2级台阶，还剩下n - 2m个1级台阶，则青蛙一共要跳n - 2m + m = n - m次才能跳完。即在n-m次跳跃中选择m次跳2级台阶，有多少种跳法数呢，C(n - m,m)种。（注意这里不是An - m,m)，因为选出的m次2级台阶没有顺序性）
所以我们求出C(n - 1,1)，C(n - 2,2)，C(n - 3,3) .. C(n - n/2, n/2)，然后将其相加，记得再加上1（选0个2级台阶，1种跳法），就是总的跳法数
实现代码时注意求组合数C(n,m)的算法，需要做一些优化，主要有两点
先化简公式
\[C{^m_n} =\frac{A{^m_n}}{m!} =\frac{n * (n - 1) * (n-2) * ... * (n-m+1)}{m!} \]
1，如果C(n,m)的结果用c#的int类型存储，则最大值为2^31^-1，如果按照公式依次计算分子和分母，可能分子或分母会超过2^31^-1，从而造成异常。所以优化为分子和分母的计算同步进行，当判断分子除以分母可以除整的时候，就先相除，避免累计数过大。后面的代码会有对应注释。
2，可以省略的计算就省略
比如求解C(5,4)，其中的4 * 3 * 2，分子分母可以直接相约，本来分子分母的计算都需要连乘4次，现在只需要连乘1次
\[C{^4_5} = \frac{5 * 4 * 3 * 2}{4 * 3 * 2 * 1} \]

实现代码

// 求解cnm
public int c(int n, int m)
{
    int count = m;
    int nf = 1, mf = 1;
    if (m >= n - m + 1)
    {
        // 对应优化2，只需要连乘n-m次
        count = n - m;
    }
    for (int i =0; i < count; i++)
    {
        nf *= (n - i);
        mf *= (i + 1);
        // 对应优化1，可以除整的时候就先除
        if (nf % mf == 0)
        {
            nf = nf / mf;
            mf = 1;
        }
    }
    return nf / mf;
}

public int jumpFloor(int number)
{
    int ret = 1;
    int count = number / 2;
    for (int i = 1; i <= count; i++)
    {
        ret += c(number - i, i);
    }
    return ret;
}